多项式中的牛顿迭代法

牛顿迭代法（\(Newton's Method\)）

快速求零点

对于一条曲线，我们要求它的零点。

先猜测一个零点，再求出该点处的切线，然后取切线的零点重复以上过程，可以快速逼近零点。

快速求函数

我们已知\(G(F(x))=0\)，求\(F(x)\)。

先猜测一个函数\(F_0(x)\)，套用求零点的过程，可以得到\(F_1(x)=F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}\)，再不断重复提高精度。

正确性证明：

最开始手动求出\([x^0]F(x)\)，记作\(F_0(x)\)。

假设现在已知\(F_k(x)\equiv F(x)\pmod{x^n}\)

我们把\(G(F(x))\)在\(F_k(x)\)处泰勒展开得到：

\[G(F(x))=\sum\limits_{i\ge 0}\frac{G^{(i)}(F_k(x))}{i!}(F(x)-F_k(x))^i=0 \]

注意到\(F(x)-F_k(x)\)的次数至少为\(n\)，所以：

\[\forall_{i\ge 2}(F(x)-F_k(x))^i\equiv 0\pmod{x^{2n}} \]

所以\(\sum\limits_{i=0}^1\frac{G^{(i)}(F_k(x))}{i!}(F(x)-F_k(x))^i\equiv 0\pmod{x^{2n}}\)

即：

\[G(F_k(x))+G'(F_k(x))(F(x)-F_k(x))\equiv 0\pmod{x^{2n}} \]

整理后得到：

\[F(x)\equiv F_k(x)-\frac{G(F_k(x))}{G'(F_k(x))}\pmod{x^{2n}} \]

我们令\(F_{k+1}(x)\equiv F_k(x)-\frac{G(F_k(x))}{G'(F_k(x))}\pmod{x^{2n}}\)，就可以开始倍增求\(F(x)\)了。