Pólya 计数

通常用来解决一些涉及本质不同的计数问题。

Burnside引理

在学习过群论后，Burnside引理是为我们所熟知的：

\[|X/G|=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g| \]

在应用中，求解本质不同的方案其实就是数轨道数，于是是要能够列举出所有的\(g\)对应的置换，并给出对应的不动点数就可以解决了。

设所有染色方案的集合为\(X\)，其中单个染色方案记作\(x\)。操作\(g\in G\)作用在染色方案\(x\)上的结果为\(gx\)。这样就说明了本质不同的染色方案数正等于\(|X/G|\)

Pólya计数原理

Burnside引理并没有利用\(X\)是某个结构上的全部染色方案这一性质。

对于染色计数问题，Pólya原理更强势一点，它其实是一般性的Burnside引理在染色计数问题上的应用。

Pólya原理在Burnside引理的基础上提供了计算不动点集合大小\(|X^g|\)的方法。

首先来明确一下染色是什么。我们设颜色集为\(C\)，当前被染色的结构的可染色的对象的集合为\(X\)，有映射\(f:X\to C\)。记所有这样的映射\(f\)构成的集合为\(X'=C^X\)，于是本质不同的染色方案数等于\(|C^X/G|\)，其中\(G\)是作用在\(C^X\)上的群，可以理解为，设\(G'\)是与\(G\)相应的作用在\(X\)上的群，\(g\in G,g'\in G'\)，本来\(f(x)=y\)，现在\(gf(x)=f(g'x)=y'\)。

如此，\(g\in G\)其实也算是对应着一种置换。

考察对于\(g\in G\)，其不动点集合\((C^X)^g\)的结构。由上面发现，\(gf(x)\)其实由\(g'x\)和\(y'\)共同决定。设\(c(g)=|X/G'|\)，这就是\(X\)在\(G'\)作用下的轨道数（也就是置换的轮换分解中的轮换数）。还要给每个轨道分配颜色，即决定\(y'\)，所以\(|(C^X)^g|=|C|^{c(g)}\)。

于是得到了无权重版本的Pólya计数原理：

\[|C^X/G|=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|C|^{c(g)} \]

带权重版本的推广

上面的式子还是有些粗糙，不能很好地处理更加精细的问题，例如颜色使用数量带限制之类的。

这些更加精细的问题在解决时需要再次运用Burnside引理。将这些结果总结为更加强大的生成函数形式，就是带权重版本的Pólya计数原理。

给定\(g\in G\)，设它对应的置换中，长度为\(k\)的轮换的数量为\(\alpha_k\)，序列长度为\(n\)，且对于每个轮换可以染成\(m\)种颜色中的一种，那么\(g\)下的生成函数：

\[\prod\limits_{1\le k\le n}\Big(\sum\limits_{1\le i\le m} x_i^k\Big)^{\alpha_k} \]

中单项式\(x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}\cdots x_m^{\beta_m}\)的系数就是第\(i\)种颜色用了\(\beta_i\)次的方案数。

这里\(\sum\limits_{1\le i\le m}x_i^k\)是对于长度为\(k\)的轮换，所有元素都要同色，每种颜色的方案数都是\(1\)，这描述了同一轮换中元素颜色一致。有\(\alpha_k\)个长度为\(k\)的轮换，于是指数为\(\alpha_k\)。

对各个展开后的单项式使用Burnside引理，由于展开后各个单项式是线性组合的，于是之间简单相加即可。于是本质不同染色方案的计数的生成函数是：

\[\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\prod\limits_{k=1}^n\Big(\sum\limits_{i=1}^mx_i^k\Big)^{\alpha_k} \]

这个式子中，对每个轮换进行染色的生成函数\(\sum\limits_{i=1}^m x_i^k\)没有特殊之处，替换成其他的生成函数后，以上分析过程仍然可以复刻。

于是可以得到一般版本的Pólya计数原理。

定义置换群的轮换指标：

\[Z_G(t_1,t_2,\cdots,t_n)=\dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\Big(\prod_{i=1}^nt_i^{c_i(g)}\Big) \]

其中\(c_i(g)\)是置换\(g\)的轮换分解中长度为\(i\)的轮换的个数。

有这个记号后，带权重版本的Pólya计数原理可以简洁地给出：

给定群\(G\)在集合\(X\)上的作用，对每个元素的染色方案由它的染色方案的计数的生成函数\(f(x_1,x_2,\cdots,x_m)\)给出，那么集合\(X\)的本质不同染色方案的计数的生成函数是：

\[Z_G(f(x_1,x_2,\cdots,x_m),f(x_1^2,x_2^2,\cdots,x_m^2),\cdots,f(x_1^n,x_2^n,\cdots,x_m^n)) \]

其中\(Z_G(t_1,t_2,\cdots,t_n)\)是群\(G\)的轮换指标。

其实就是把上面的\(\sum\limits_{i=1}^m x_i^k\)换成了更加一般的多元生成函数。

如果将生成函数在\(x_i=1\)处取值，就可以得到上文的无权重版本的Pólya计数原理。

结束啦。

吗？

作为一点补充，并且上面那一坨太史了不好迁移到符号化方法上。

再提染色：设一个有限集合\(\mathcal M\)和一个置换群\(G\)作用在\(\mathcal M\)上，取一个组合类\(\mathcal B\)，所有染色方案的集合就是\(\mathcal B^{\mathcal M}\)。

两个染色\(\varphi_1,\varphi_2\in \mathcal B^{\mathcal M}\)被认为本质相同，当且仅当存在\(g\in G\)使得\(g\cdot \varphi_1=\varphi_2\)，从而染色的等价类集合称为\(\mathcal B^{\mathcal M}/G\)。

对于任意的\(\beta\in \mathcal B\)，设\(w(\beta)\)为它的权重。

定义一个映射（即一个染色）\(\varphi:\mathcal M\to \mathcal B\)的权重为\(w(\varphi)=\sum\limits_{k\in \mathcal M}w(\varphi(k))\)。

显然同一个等价类的的权重相同，这一权重称为该等价类的权重。

这个权重可以取的范围很广，比如幂级数（生成函数）也可以。

现在的Pólya原理就可以写成：

\[\sum\limits_{\varphi\in (\mathcal B^{\mathcal M}/G)}w(\varphi)=Z_G(\sum\limits_{\beta\in \mathcal B}w(\beta),\sum\limits_{\beta\in\mathcal B}w^2(\beta),\cdots,\sum\limits_{\beta\in \mathcal B}w^m(\beta)) \]

这样我们可以更加清晰地描述所带的权重。

有两种特殊形式：

若取\(w(\beta)=z^{|\beta|}\)，那么就有：

\[\sum\limits_{\varphi\in(\mathcal B^{\mathcal M}/G)}w(\varphi)=Z_G(B(z),B(z^2),\cdots,B(z^m)) \]

若取\(G\)为任意置换构成的群\(\mathrm R\)，那么考虑把它拆成若干不相交的子群\(\mathrm R_i\)，其中的置换的长度都为\(i\)。

有式子：

\[\sum\limits_{i\ge 1}\sum\limits_{\varphi\in(\mathcal B^{\mathcal M_{[1\dots i]}}/\mathrm R_i)}w(\varphi)=\exp\Big(\sum\limits_{i\ge 1}\dfrac{\sum\limits_{\beta\in \mathcal B} w^i(\beta)}{i}\Big) \]

考虑证明的话就是经典地枚举置换的轮换分解，关注其总大小和轮换的个数，然后考虑一组这样的分解可以对应多少个置换，算上一个系数，最后凑\(\exp\)的形式。