扫描线

是很强大的东西。

难点是精确地刻画出限制。就是要找到限制的一个充要条件，然后放到二维平面上去用扫描线+DS维护。

常见构造二维平面的方式：以询问\([l,r]\)作为\((l,r)\)；以需要维护的信息\(f_{i,j}\)作为\((i,j)\) etc.

正难则反

正着刻画限制不太行，就尝试刻画出不符合限制的情况，这样放到二维平面上。最后的答案形式或许是矩形的补。

这是常见+Simple的。

反演的想法

For instance，我们查\([l,r]\)中的颜色数，先正难则反，考虑哪些颜色在\([l,r]\)中没有出现。然后就可以先只关注一种颜色，然后\([l,r]\)在相邻的两个位置之间的询问就没有这种颜色造成的贡献。这样的\([l,r]\)放到平面上就是一个矩形，然后扫描线就好。

这样我们可以考虑一个元素对于询问的贡献然后扫描线。

来点例题

P1502 窗口的星星

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由于窗户大小固定，我们以它的右上角来表示它的位置。考虑一个位置上的星星可以对哪些位置上的窗户造成贡献，发现贡献范围是一个矩形。

问题转化为：矩形加，查询所有点中的最值。于是扫描线可以做了。

区间子区间问题

首先需要刻画出子区间要满足的限制，剩下的都是套路。

设\(f_{i,j}\)表示子区间的信息，然后就考虑每个位置作为\(r\)新造成的贡献。于是\(f\)的整个平面都可以维护出来，同时使用历史和线段树维护一个前缀矩形的满足条件的信息（子区间）的个数/或者统计贡献之类的，询问一个区间\([L,R]\)的子区间其实就是给子区间的左右端点加上了限制，\(L\le l\le r\le R\)，放到平面上还是矩形，于是用前缀矩形将这个差分出来就好。

来点例题

P3246 [HNOI2016] 序列

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设\(f_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)的最小值，那么要求的就是\(l\ge ql\land r\le qr\)的所有\(f_{l,r}\)之和。将\(l\)作为横轴，\(r\)作为纵轴构造二维平面，于是所求的就是右下方一个矩形和。（\(l>r\)的部分，我们认为\(f_{l,r}=0\)）。

如何求出每个\(f\)？只需单调栈维护一个值能够贡献的区间的左右端点。放到平面上，我们只需维护矩形加，2-side矩形和。后者可以历史和线段树。

扫Sequence维，DS时间维

特点是区间修改，单点询问。

我们每个时刻在序列上做修改或查询，可以构造以序列为横轴，时间为纵轴的二维平面。发现一次修改造成的影响范围在平面上是一个矩形。

我们用DS维护时间维，维护的是操作造成的影响。扫描线去扫序列，依次回答单点询问。

来点例题

P3863 序列

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就是矩形加，然后在扫描线上查询一段前缀中不小于 \(x\) 的数有多少个。分块维护扫描线即可。

每个询问的 \(x\) 需要结合序列上对应的值 \(a_i\) 算出来。注意一下 \(t=0\) 即初始时刻的特判。

假-斜线扫描线

看似平面上的限制又有正着的矩形又有斜着的半平面，但是实际上可以尝试拆开。

把正着和斜着的分别贡献到答案上。

正的就不动，正常做。斜着的考虑“旋转坐标系”，其实是放到另一个平面上，更改 X 轴和 Y 轴的定义即可。

可能在两个平面上扫描线扫的东西不同，视具体限制而定。