随机化以及和概率相关的东西（长期更新）

Hash

一点小感受：Hash就是去找问题的必要条件（这一般是很好满足的），然后发现在满足必要条件的情况下有很大概率是充分的。

字符串Hash

等着补。

Xor Hashing and Sum Hashing

奇妙的东西。

可以快速找一个组合是否出现/某个数是否出现\(k\)次这种与具体的顺序无关的问题。

找排列

来一道题P10833 [COTS 2023] 下 Niz

找到所有区间\([l,r]\)使得\(a_l\dots a_r\)是\(1,2\dots r-l+1\)的一个排列。

朴素的枚举就不提了。

我们发现原问题的一个必要条件是\(\bigoplus\limits_{i=l}^r a_i=\bigoplus\limits_{i=1}^{r-l+1} i\)

然而这并不是充分的，如\(1\oplus 2=5\oplus 6\)。

这是因为异或的结果集不超过\(2n\)，而不同的区间有\(\frac{n(n-1)}{2}\)，发生冲突的概率很大，于是启示我们扩大异或的结果集。

我们将每个数映射到\([0,2^{64}]\)中的一个整数，于是结果集扩大到\(2^{64}\)，冲突的概率很小了。

以上是xor hash的想法，对于这道题，我们继续优化。我们发现对于一段区间想要合法，那么必要条件是其中有\(1\)，且最大值等于区间长度。

那么我们对于最大值在\(1\)的左侧和右侧分开做。显然序列中的\(1\)将序列分成了几段。考虑只记录每个\(1\)右侧的最大值，枚举右端点，每次检查当前是否有\(1\)且是否最大值（即区间长度）可以覆盖到\(1\)。当遇到新的一个\(1\)时，由于之前已经有\(1\)，于是不可能构成排列，所以扔掉前一个\(1\)的信息，重新开始。

于是做完了，\(O(n)\)。

模拟退火

其它随机化技术