2024.6.29杂谈（高斯消元，矩阵，数论，搜索）

高斯消元和矩阵相关

高斯消元

高斯消元板子

高斯消元：消成阶梯矩阵，从下往上回带。

高斯约旦消元：消成对角矩阵，直接算。

注意解的情况：

（1）存在一行系数全为 \(0\) 但常数项不为 \(0\)，无解。

（2）有 \(k\) 个全 \(0\) 行，就有 \(k\) 个自由元，有无数解。

（3）Otherwise，有唯一解。

矩阵相关

矩阵乘法和快速幂

\(A \times B =C\) 时，\(C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik} \times B_{kj}\)，矩阵乘法没有交换律。

inline mat operator*(const mat& b){
	mat res;
	int t;
	for(int i=1;i<=sz;++i)
	{
		for(int k=1;k<=sz;++k)
		{
			t=a[i][k];
			for(int j=1;j<=sz;++j)
			{
				res.a[i][j]+=b.a[k][j]*t;
				res.a[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	return res;
}

快速幂正常写就好。

矩阵求逆

\(A \times A^{-1} = I\)，求 \(A^{-1}\)。

定义：单位矩阵 \(E\) 做一次 初等变换 得到的矩阵称为初等矩阵。

一个定理：\(\text{矩阵} A \text{可逆} \Leftrightarrow A \text{可以表示成一些初等矩阵的乘积}\)。

又一个定理：\(A\) 左乘一个初等矩阵，相当于做一次初等 行 变换。

所以 \(A^{-1}=P_1P_2......P_n\)

两侧同时右乘 \(A\)，\(P_1P_2......P_nA=E\)

所以当 \(A\) 做一系列初等行变换后变成 \(E\) 时，\(E\) 也做相同的初等行变换，就可以得到 \(A^{-1}\)。

做的时候可以将 \(E\) 接在 \(A\) 的后面，然后对 \(A\) 高斯消元成 \(E\)，若第 \(i\) 行第 \(i\) 列为 \(0\),则 \(A\) 不可逆。

欧拉函数，莫比乌斯函数复习

欧拉函数

\(\varphi(n)\)：小于等于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的数的个数。

显然 \(\varphi(1)=1\)，对于一个质数 \(p\)，\(\varphi(p)=p-1\)。

性质：

（1）\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)(\gcd(a,b)=1)\)，即 \(\varphi\) 是积性函数。

（2）\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

证：设 \(f_i\) 表示 \(\gcd(k,n)=i\) 的 \(k\) 的个数，容易发现 \(n=\sum_{i=1}^n f_i\)，又有 \(f_i=\varphi(\frac{n}{i})\)，

所以 \(n=\sum_{d|n} \varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n} \varphi(d)\)。

（3）若 \(p\) 是质数，则 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\)。

（4）设 \(n=\prod_{i=1}^s p_i^{k_i}\)，那么 \(\varphi(n)=\prod_{i=1}^s \varphi(p_i^{k_i})=n \prod_{i=1}^s (1-\frac{1}{p_i})\)。

由性质（2），可以将 \(\gcd\) 等式子化成 \(\varphi\) 之和。

欧拉定理

若 \(\gcd(a,m)=1\) ，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)

扩展一下：\(a^b=\begin{cases} a^{b \bmod \varphi(p)} & \gcd(a,p)=1 \\ a^b & \gcd(a,p) \ne 1,b<\varphi(p) \\ a^{b \bmod \varphi(p)+\varphi(p)} & \gcd(a,p) \ne 1,b \ge \varphi(p) \end{cases}\)

筛 \(\varphi\)

先是一般质数筛。

（1）当 \(i \equiv 0 \pmod {prime_j}\)，\(\varphi(i \ast prime_j)=\varphi(i) \times prime_j\)

（2）Otherwise，\(\varphi(i \ast prime_j)=\varphi(i) \times (prime_j-1)\)

莫比乌斯函数

\(\mu(n)=\begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n \text{存在平方因子} \\ (-1)^k & k \text{为} n \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}\)

性质：

\(\epsilon(n)=\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\)

证：

设 \(n=\prod_{i=1}^s p_i^{k_i},n'=\prod_{i=1}^s p_i\)，则 \(\sum_{d|n} \mu(d)=\sum_{d|n'} \mu(d)=\sum_{i=0}^s {s \choose i} \cdot (-1)^i=(1+(-1))^s=\epsilon(n)\)

由性质，可以将 \([\gcd=1]\) 等式子化成 \(\sum_{d|n} \mu(d)\) 的形式。

搜索复习

$A^* \text{和} IDA^* $ 中估价 \(\le\) 实际价。