CF1817

A. Almost Increasing Subsequence

称一个序列是好的，当且仅当不存在三个连续的元素 \(x,y,z\) 满足 \(x \geq y \geq z\)。给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(q\) 次询问，每次询问 \(a_l \sim a_r\) 中最长的好的子序列的长度。\(n,q \leq 2 \times {10}^5\)。

考虑将一个序列拆成若干个不增段，那么对于所有长度 \(\geq 2\) 的段，它对答案的贡献都是 \(2\)；而所有长度 \(=1\) 的段对答案的贡献都是 \(1\)。这两个信息都是可合并信息，于是拿线段树维护即可。

B. Fish Graph

称一张图是鱼，当且仅当这张图是由一个环和挂在同一个点上且两端不都在环里的两条边组成。给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的图，找到该图的一个子图，使得这个子图是鱼，或者报告无解。\(n,m \leq 2000\)。

这题为啥是蓝题啊？？？

考虑枚举一个点，然后暴力 DFS 找环，最后再找两条其他的边即可。

C. Similar Polynomials

给定两个 \(n\) 次模意义下的多项式 \(A(x)\) 和 \(B(x)\)，并给定多项式的 \(n + 1\) 个连续点值。现在，题目保证 \(B(x)\) 是由 \(A(x)\) 平移 \(m\) 单位而来的，求 \(m\)。\(n \leq 2.5 \times {10}^6\)。

有：

\[\begin{aligned} \sum_{i = 0}^n b_i x^i &= \sum_{i = 0}^n a_i(x + m)^i \\ &= \sum_{i = 0}^n a_i \sum_{j = 0}^i {i \choose j} x^j m^{i - j} \\ &= \sum_{j = 0}^n x^j \sum_{i = j}^n {i \choose j} a_i m^{i - j} \\ &= \sum_{i = 0}^n x^i \sum_{j = i}^n {j \choose i} a_j m^{j - i} \end{aligned} \]

有：

\[b_i = \sum_{j = i}^n {j \choose i} a_j m^{j - i} \]

代入 \(i = n - 1\)，有：

\[b_{n - 1} = nma_n + a_{n - 1} \]

直接算即可。

D. Toy Machine

题目难以描述，自己看吧。

非常好玩的题目啊，建议大家自己玩玩。

先 L 一下。接下来，DRUL 和 DLUR 都可以造成循环，一个在左边，一个在右边。如果在右边，那么在随便搞搞就能弄到左边。