cf773

D. Perishable Roads

题意：

有一个 \(n\) 个点的图，对于每两个点 \((i,j)\) 之间都有一条长度为 \(w_{i,j}\) 的无向边。

给你一个点 \(t\)，你需要构造一棵以 \(t\) 为根的生成树，使得 \(\sum_{i=1}^n s(i,t)\) 尽量小。\(s(i,t)\) 为 \(i\sim t\) 的树上路径上的最小权值。

你需要对于每个 \(t\) 都求出答案。

\(n \leq 2000\)。

题解：

首先，答案一定形如扫帚形状，而最小值一定位于菊花正上方的一条边。

考虑调整法构造，每次将菊花的一个点拎到最上面，这样总结果增加 \(w(u, v) - \min\)。这样，我们建出一个新图，在这个新图上跑最短路即可。

如何证明扫帚是对的？你将一个挂在链上的东西调整到菊花一定不劣。