2025.5.25 KH Greedy sol

1. CF741C Arpa’s overnight party and Mehrdad’s silent entering

图论建模。

考虑对于任意的正整数 \(k\)，将 \(2k\) 和 \(2k - 1\) 之间连边，情侣之间连边。容易证明这样做之后一定会产生一个二分图，于是二分图染色即可。

2. P5089 [eJOI 2018] 元素周期表

图论建模×2。

考虑对于每个已知点 \((i, j)\)，将第 \(i\) 行和第 \(j\) 列连边，这样建出来的一定是一个二分图。对于一个边数大于等于 \(2\) 的联通块，它一定能通过操作变成完全二分图。这样，我们只需要统计其他联通块数量即可。

3. P11524 [THUPC 2025 初赛] 背向而行

不会。

4. P6303 [eJOI 2018] AB 串

原串等价于一个 \(\texttt{ab}\) 交错串。对于相邻的 \(\text{ab}\)，我们记它们直接的空隙为关键边。显然，目标是让关键边变为 \(0\)。一次操作最多让关键边减 \(2\)，所以有一个理论下界。构造的话就需要分讨，读者自己想吧。

5. POJ C25C [PKU-CPC 2025] Maximum Cut on a Number Line

\(A\) 集合一定选一段区间，具体我也不会证。

6. P8347 「Wdoi-6」另一侧的月

必胜状态为树存在度数为偶数的点，必败状态反之。

对于一个必胜状态，选取一个深度最大的度数为偶数的点，只保留以它为根的子树，那么剩下的点度数一定都为奇数。这样，一个必胜状态可以达到一个必败状态。

对于一个必败状态，不管如何删必然产生度数为偶数的点。这样，一个必败状态必然会到达一个必胜状态。

最后的状态是必胜状态，所以必胜状态先手胜，必败状态后手胜。

7. POJ C25L [PKU-CPC 2025] Game on Tree

不会。

8. CF1477D Nezzar and Hidden Permutations

首先，对于度数为 \(n - 1\) 的点 \(u\)，\(p_u\) 一定等于 \(q_u\)，而且 \(u\) 是无意义的，所以我们可以删去这样的 \(u\)。经过这些操作后，为了不引起歧义，我们重新定义 \(n\)，表示操作后图的点数 \(n\)。

考虑建反图。不难发现，我们可以将反图分成若干个不交联通分量，这些联通分量独立。考虑一个菊花，设它的根为 \(u\)，那么可以有 \(p_u=1\) 且 \(q_u=n\)，其他的点权值为 \(p = 2,3,4,\cdots ,n-1,n\)，同时 \(q = 1,2,3, \cdots ,n-2,n-1\)。容易证明这样一定是成立的。这样，我们只需要将反图划分成若干个不交菊花即可。对于一颗树，有以下方法：

• 考虑一个不在任意的一个已分配菊花里的节点 \(u\)，此时有以下两种情况：
  • \(u\) 的所有相邻节点都不在已分配菊花里，此时将 \(u\) 与它的所有相邻点组成的菊花加入到已分配菊花的集合中。
  • \(u\) 的所有相邻节点中有至少一个节点在已分配菊花中，设其中一个为 \(v\)，此时又有一下两种情况：
    • \(v\) 所在菊花大小大于 \(2\)，此时将 \(v\) 从其所在菊花里删除，并将已分配菊花集合加入 \(u\) 和 \(v\) 组成的菊花。
    • \(v\) 所在菊花大小等于 \(2\)，此时将 \(u\) 加入 \(v\) 所在菊花，并将 \(v\) 设为这个菊花的根。
• 重复以上过程，直至所有点都在一个已分配菊花中。

这样，我们只需要找反图的生成森林，然后进行以上操作即可。

注意，由于反图的边数是 \(O(n^2)\) 量级的，所以找生成森林的过程需要拿一个 set 来维护。

9. P12055 [THUPC 2025 决赛] 一个 01 串，n 次三目运算符，最后值为 1

不会。

10. P8348 「Wdoi-6」未知之花魅知之旅

不会。