斯特林数
1. 第二类斯特林数及其性质
第二类斯特林数 是指，将 \(n\) 个 有标号 物品放入 \(m\) 个 无标号 盒子（非空）的方案数。
考虑第 \(n\) 个物品放在哪里。显然，有递推式：
\[{ n \brace m } = m { n - 1 \brace m } + { n - 1 \brace m - 1 }
\]
尝试求出它的通项公式。显然，根据容斥原理，将 \(n\) 个 有标号 物品放入 \(m\) 个 有标号 盒子（非空）的方案数为：
\[\sum_{i = 0}^m {(-1)}^{i} { m \choose i } (m - i)^n
\]
那么显然有：
\[m! { n \brace m } = \sum_{i = 0}^m {(-1)}^{i} { m \choose i } (m - i)^n
\]
这样，我们得到了第二类斯特林数的通项公式。在固定 \(n\) 时，这显然是一个卷积的形式。这样，我们得到了 同一行 第二类斯特林数的求法。
观察上式，变换一下，显然有：
\[m! { n \brace m } = \sum_{i = 0}^m {(-1)}^{m -i} { m \choose i } i^n
\]
做二项式反演，有：
\[m^n = \sum_{i = 0}^m { m \choose i } i! { n \brace i }
\]
上面这个公式我称之为 拆幂公式。
现在，我们考虑求出 同一列 的第二类斯特林数。考虑写出一个 有标号 盒子放 \(i\) 个 有标号 物品（盒子非空）的方案数，显然答案为 \([i > 0]\)。由于是有标号物品，考虑写出它的 EGF，为 \(e^x - 1\)。那么，\(m\) 个 有标号 盒子放 \(i\) 个 有标号 物品（盒子非空）的方案数即为 \((e^x - 1)^m\)。由于是有标号盒子，求出来之后还需要除以 \(m!\)。
2. 第一类斯特林数及其性质
第一类斯特林数 是指，将 \(n\) 个 有标号 的数（标号为 \(1 \sim n\)）分拆成 \(m\) 个 无标号 圆排列的方案数。
考虑数 \(n\) 在哪个圆排列。显然，有递推式：
\[{ n \brack m } = (n - 1) { n - 1 \brack m } + { n - 1 \brack m - 1 }
\]
第一类斯特林数没有实用的通向公式。
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