根号算法

1. 分块

咕了，以后讲了再写。

2. 莫队

暴力。

2.1 算法介绍

莫队算法用于 离线 处理问题，但这不代表它不支持修改。

莫队的思想是，将一次询问进行延拓，进而得到下一次询问的答案。当然，这不只是延拓，还有向内收缩的操作。为了行文方便，我们在下文中只称之它为延拓。

直接暴力地延拓显然无法保证复杂度，因为每次延拓的最坏时间复杂度是 \(O(n)\) 的，总最坏时间复杂度就是 \(O(nm)\) 的，显然无法承受。

但是，我们可以通过分块来优化这个过程（设块长为 \(B\)）。具体地，我们可以以 左端点所在块的编号 为第一关键字，右端点为第二关键字对询问排序。

对于左端点的移动，它每次只在单个块内或者相邻块间移动，那么移动左端点的时间复杂度是 \(O(mB)\)。而对于右端点，考虑左端点在一个块内的所有询问，你会发现它们的右端点是单调递增的。所以对于一个块，移动右端点的总时间复杂度是 \(O(n)\) 的，一共有 \(O(\frac{n}{B})\) 个块，所以移动右端点的时间复杂度为 \(O(\frac{n^2}{B})\)。这样，莫队的总时间复杂度为 \(O(mB + \frac{n^2}{B})\)，当 \(B = \frac{n}{\sqrt{m}}\) 时，时间复杂度最优，为 \(O(n \sqrt{m})\)。

莫队采用了上述 根号平衡 思想，平衡了左端点和右端点的移动总距离。从本质上讲，这其实是平衡了块长与块的数量。

2.2 回滚莫队

咕。

2.3 带修莫队

与普通莫队类似，这类莫队加入了一维时间维度，进而解决了修改的问题。时间复杂度 \(O(n ^ {\frac{5}{3}})\)。

2.4 莫队二次离线

如果莫队的扩展操作并不好 \(O(1)\) 处理，那么我们可以让莫队 再次离线，即离线处理莫队的扩展操作。

设 \(f(i, [l, r])\) 表示 \(i\) 对区间 \([l, r]\) 的贡献。考虑右移 \(r\)，现在我们需要计算 \(f(r + 1, [l, r])\)。考虑进行差分，那么我们只需要计算 \(f(r + 1, [1, r]) - f(r + 1, [1, l - 1])\)。\(f(r + 1, [1, r])\) 的计算是不难的，扫一遍序列即可。而对于计算 \(f(r + 1, [1, l - 1])\)，扫一遍序列，边扫边统计答案，扫到 \(l - 1\) 时 \(O(1)\) 统计 \(r + 1\) 的贡献。由于离线下来的扩展操作数量是 \(O(n \sqrt{m})\) 个，所以时间复杂度是 \(O(n \sqrt{m})\)。

莫队二次离线可以与树状数组、值域分块、根号分治等算法或数据结构结合，需要具体题目具体分析。

2.5 一些技巧

2.5.1 奇偶排序

其实就是标号为奇数的块右端点升序排序，偶数的就降序，这样复杂度会更优，比原来的快 \(30\%\) 左右。

2.5.2 复杂度平衡

莫队的修改次数是 \(O(n \sqrt{m})\) 的，但查询次数是 \(O(m)\) 的。也就是说，我们可以使用 \(O(1)\) 修改，\(O(\sqrt{n})\) 查询的值域分块或 \(O(1)\) 修改，\(O(\frac{n}{\omega})\) 查询的 bitset 来维护。

2.6 例题

为了方便分析，例题中假设 \(n,m\) 与值域同阶。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

显然，从 \([l, r]\) 扩展到 \([l, r + 1]\) 时，位置 \(r + 1\) 的贡献是 \([l, r]\) 中大于 \(a_{r + 1}\) 的数的个数。我们可以用树状数组来维护，但这样总复杂度为 \(O(n \sqrt{n} \log{n})\)，有待优化。

考虑莫队二次离线。贡献 \(f(r + 1, [1, r])\) 是容易预处理的，树状数组即可。而对于贡献 \(f(r + 1, [1, l - 1])\)，我们可以对 值域 进行分块，维护块间后缀和和块内后缀和，这样我们可以做到 \(O(1)\) 统计答案，总时间复杂度降至 \(O(n \sqrt{n})\)

代码。

P5501 [LnOI2019] 来者不拒，去者不追

与上一题一样，我们考察位置 \(r + 1\) 的贡献。显然，所有大于 \(a_{r + 1}\) 的数排名都增加了 \(1\)。也就是说，位置 \(r + 1\) 产生了大于 \(a_{r + 1}\) 的数之和的贡献。当然，还需要加上 \(r + 1\) 本身的贡献，也就是它的排名乘上 \(a_{r + 1}\)。

在线计算显然是复杂的，考虑莫队二次离线。贡献 \(f(r + 1, [1, r])\) 依旧是容易预处理的，树状数组即可。而对于贡献 \(f(r + 1, [1, l - 1])\)，我们也可以使用值域分块。但这时就不只是维护后缀和了，还需要维护前缀和。总体来说，维护方式与上一题是几乎一样的。时间复杂度也是 \(O(n \sqrt{n})\)。

代码。

P5398 [Ynoi2018] GOSICK

\(r + 1\) 的贡献在线维护依旧是困难的，于是考虑莫队二次离线。

对于贡献 \(f(r + 1, [1, r])\)，预处理时枚举因数再结合桶即可，时间复杂度 \(O(n \sqrt{n})\)。

对于贡献 \(f(r + 1, [1, l - 1])\)，如果是统计 \(a_{r + 1}\) 的倍数个数依旧是不难的，与预处理的做法一样，复杂度 \(O(n \sqrt{n})\)。但统计 \(a_{r + 1}\) 的因数比较困难，因为不能像预处理那样直接枚举因数，否则时间复杂度就来到了 \(O(n ^ 2)\)。下面，我们将重点讨论 \(a_{r + 1}\) 因数的统计方法。

实质上是要统计对于 \(i \in [1, l - 1]\)，满足 \(a_i\) 是 \(a_{r + 1}\) 的 \(i\) 的个数。考虑根号分治，如果 \(a_i \geq \sqrt{n}\)，直接枚举 \(a_i\) 的倍数即可，时间复杂度 \(O(n \sqrt{n})\)。如果 \(a_i < \sqrt{n}\)，考虑枚举这样 \(a_i\)，将满足 \(a_j\) 是它的倍数的 \(j\) 在一个标记数组中标记为 \(1\)，否则为 \(0\)。你会发现，对于每个询问，我们离线下来的都是一个区间。这样，我们只需要对每个这样的区间求出标记数组的区间和即可。由于 \(a_i < \sqrt{n}\)，且区间只有 \(O(n)\) 个，区间和可以通过标记数组的前缀和 \(O(1)\) 求出，总时间复杂度 \(O(n \sqrt{n})\)。

需要卡常，挺毒瘤的。

代码。