SAM 习题题解

不多说了，直接看题吧。

P3804 【模板】后缀自动机（SAM）

模板题，在 Parent 树上树形 DP 即可。

代码。

P3975 [TJOI2015] 弦论

显然，我们可以直接 DAG 上 DP + 试填法。

如果 \(t = 0\)，那么万事大吉。但是我们有万恶的 \(t = 1\)，所以还得处理一下每个等价类的大小。

这题是真恶心，先是 WA 了所有 \(t = 0\)，然后搞定 \(t = 0\) 后又 WA 了所有 \(t = 1\)，哎。

代码。

SP1811 LCS - Longest Common Substring

对 \(S\) 建出 SAM，在 \(S\) 中匹配 \(T\)，失配则跳后缀链接，最后取 \(\max\) 即可。

先粘个 SA 代码，SAM 代码以后再补。

代码。

P6640 [BJOI2020] 封印

考虑和上一题一样的思路，在 \(t\) 中匹配 \(s\)，你会发现你可以求出 \(s\) 的每个前缀在 \(t\) 中的最长后缀，记为 \(f_i\)。

然后你就会发现答案形如：

\[\max_{i = l} ^ r \min \{ f_i, i - l + 1 \} \]

直接二分答案即可。

我实在不想写万恶的 SAM 了，所以这题也用 SA 了。

代码。

CF1063F String Journey

首先，\(t\) 的长度一定是 \(k, k-1, \cdots 3,2,1\)。证明略。

设 \(f_i\) 表示只考虑区间 \([i, n]\) 表示的字符串时，选取的最后一个字符串必须包含 \(i\) 时，最大的 \(k\)。那么对于转移点 \(j\)，我们只需要判断 \(s_{[i, i + f_j - 1]} = s_{[j, j + f_j - 1]}\) 或者 \(s_{[i + 1, i + f_j]} = s_{[j, j + f_j - 1]}\) 即可。

考虑优化这个过程，注意到随着 \(i\) 的减小，\(i + f_i - 1\) 是不增的。这启发我们双指针枚举 \(i\) 和 \(i + f_i - 1\)，枚举时判断这个区间是否合法。具体地，记我们枚举到的区间为 \([i, r]\)（也就是 \(r = i + f_i - 1\)），我们只需要判断是否存在一个 \(j \in [r + 1, n]\)，满足：

• \(f_j \geq r - i\)。这是因为我们最后一个字符串的长度选取的是 \(r - i + 1\)，那么上一个就是 \(r - i\)，\(f_j\) 必须要大于等于这个值。
• \(s_{[i, r - 1]} = s_{[j, j + r - i - 1]}\) 或者 \(s_{[i + 1, r]} = s_{[j, j + r - i - 1]}\)。

第一个条件比较容易刻画，线段树维护最大值即可。对于第二个条件，一个经典转化是将这种问题转化成 LCP（最长公共前缀的长度）的关系。具体地，它等价于 \(\text{LCP}(\text{suf}(i), \text{suf}(j)) \geq r - i\) 或者 \(\text{LCP}(\text{suf}(i + 1), \text{suf}(j)) \geq r - i\)。这可以在 Height 数组上二分求出 \(j\) 的排名区间，进而得到满足条件的 \(j\)。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)，被线性做法完爆了，但是起码比 \(O(n \sqrt{n})\) 的枚举答案 + Hash 好。

代码。

CF700E Cool Slogans

首先，\(s_{i-1}\) 一定是 \(s_i\) 的一个后缀。那么答案就是 Parent 树中一条返祖链上的若干个点。

我们先钦定选了 \(u\)，考虑在它的祖先节点中选取。显然，我们如果要选择一个等价类，那么我们只能选取这个等价类中的一个字符串，同时选任何一个都不会改变它和 \(u\) 的合法性。那么选最长的那个肯定是不劣的。

有了上面那几个性质这个题就好做多了。对于每个等价类，我们可以忽略短串，只考虑最长的串。

考虑一个树形 DP，设 \(f_u\) 表示考虑根节点到 \(u\) 的链中，可以选取最多的字符串（节点）数。\(g_u\) 表示最后选取的节点。

考虑转移的最优性，这里有一个小贪心，就是“能选就选”的原则。也就是说，如何我们能选取一个节点，那么必然要选取它。证明可以使用调整法，如果没选它，那么将后面的一个节点调整为它也是合法的。

有了这个贪心以后，我们就可以放心地 DP 了。考虑从 \(u\) 转移到它的子节点 \(v\)，如果 \(g_u\) 和 \(v\) 是合法的，即 \(g_u\) 在 \(v\) 中有一次不是以后缀的形式出现，有：

\[f_v = f_u + 1, g_v = g_u \]

否则，有：

\[f_v = f_u, g_v = v \]

如何判断 \(g_u\) 在 \(v\) 中有一次不是以后缀的形式出现呢？我们需要维护节点的 endpos 集合，记为 \(\text{endpos}(i)\)。还需要维护节点的任意一个结束位置，记为 \(p_i\)。最后还有最长串的长度，记为 \(l_i\)。那么，只需满足 \(\text{endpos}(g_u) \cap [p_v - l_v + l_{g_u}, p_v - 1] \neq \varnothing\) 即可。endpos 集合可以使用可持久化线段树合并维护，时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

建 SAM 复制节点时一定要复制结束位置，否则你会 WA on #10。可持久化时一定要完全可持久化，否则你会 WA on #11。血的教训。

代码。