FFT（临时）

快速傅里叶变换（FFT）

单位根及其性质

FFT 中需要用到单位根这一工具，笔者在这里简要介绍一下。

对于复数 \(z\)，我们用辐角和模长来表示它，有

\[\begin{align} z = \lvert z \rvert \cdot (\cos{\theta} +i \sin{\theta}) \end{align} \]

对于复数 \(z_1\) 和 \(z_2\)，分别设 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 为它们的辐角。考虑 $z_1 \cdot z_2 $，根据三角函数的和角公式，有

\[\begin{align} \begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= \lvert z_1 \rvert \cdot (\cos{\theta_1} +i \sin{\theta_1}) \cdot \lvert z_2 \rvert \cdot (\cos{\theta_2} +i \sin{\theta_2}) \\ &= \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert \cdot (\cos{\theta_1} +i \sin{\theta_1}) (\cos{\theta_2} +i \sin{\theta_2}) \\ &= \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert \cdot (\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - \sin{\theta_1}\sin{\theta_2} + i\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} + i \cos{\theta_1}\sin{\theta_2}) \\ &= \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert \cdot ((\cos{\theta_1}\cos{\theta_2} - \sin{\theta_1}\sin{\theta_2}) + i(\sin{\theta_1}\cos{\theta_2} + \cos{\theta_1}\sin{\theta_2})) \\ &= \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert \cdot (\cos{(\theta_1 + \theta_2)} + i\sin{(\theta_1 + \theta_2)}) \end{aligned} \end{align} \]

\[ \]

考虑方程

\[\begin{align} x^n = 1 \end{align} \]

我们早