【HNOI2009】 最小圈

最小圈

Preface 前言

双(三)倍经验!

第三题的博客qwq


Problem model 问题模型

这三道题都是给定一张有向图,首先判断是否有环

如果有环就求出最大环或最小环的平均值

解决这种题,我们通常都是使用 二分答案 & SPFA 判环求最短(长)路

Train of thought 思路点拨

  • 为什么会想到二分答案呢?

因为在找最大(小)环的时候我们一般会想到:

遍历整个图,找到每一个环,然后算出它们的平均值,最后比较出最大(小)值

但是题目可能是多组数据,还不说图的大小,所以这种思路大概率会 \(T\) 飞的

  • 那怎么做?

——不能找环,那我们就直接找答案啊!(这里要转换一下思想)

因为找答案 \(=\) 枚举答案,而枚举答案一般使用较高效的二分答案

  • 再来转换一下关键式子

我们能将求答案\(ans\)的式子表示如下:

\(ans=(len_1+len_2+len_3+···+len_k)/K\)

数学转换一下:

\(ans*K=len_1+len_2+len_3+···+len_k\)

移项一下:

\((len_1+len_2+len_3+···+len_k)-ans*K=0\)

最后我们可得:

\((len_1-ans)+(len_2-ans)+(len_3-ans)+···+(len_k-ans)≥0\)

(因为最开始的式子是整除,会有精度问题,所以是 \(≥\)

  • 经过上述转换之后,\(SPFA\)更新路径长度的写法就应该如下:

dis[v]>dis[now]+e[i].val-middis[v]<dis[now]+e[i].val-mid

dis[v]=dis[now]+e[i].val-mid

其中 \(mid\) 是我们当前枚举的答案(第一句是最小环,第二句是最大环)

  • \(check\) 函数的写法也变得显而易见:

每次枚举了 \(ans\),就跑 \(SPFA\) ,如果存在环则说明当前枚举的 \(ans\) 是合法的,反之不合法


Code 代码

注:这三道题我都写的 \(dfs\) 版的 \(SPFA\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,u,v,tot;
double w,dis[520010];
int vis[520010],head[520010];

struct node {
    int to,net;
    double val;
} e[520010];

inline void add(int u,int v,double w) {
    e[++tot].to=v;
    e[tot].val=w;
    e[tot].net=head[u];
    head[u]=tot;
}

inline bool dfs(int now,double x) {
    vis[now]=1;
    for(register int i=head[now];i;i=e[i].net) {
        int v=e[i].to;
        if(dis[v]>dis[now]+e[i].val-x) {
            dis[v]=dis[now]+e[i].val-x;
            if(vis[v]==1||dfs(v,x)==true) return true;
        }
    }
    vis[now]=0;
    return false;
}

inline bool check(double x) {
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        vis[i]=0;
        dis[i]=20050206;
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++) {
        if(dfs(i,x)==true) return true;
    }
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
    }
    double l=-10000000,r=10000000;
    while(r-l>1e-10) {
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)==true) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.8lf",l);
    return 0;
}

Epilogue 尾声

最后,如果这篇题解有任何问题或不懂的地方,欢迎留言区评论

我一定会及时回复、改正,谢谢各位dalao呀!orz


posted @ 2020-07-26 21:05  Eleven谦  阅读(22)  评论(0编辑  收藏