Young 不等式的一个证明

Young 不等式的经典形式是, 对于 \(p,q\geq 1\) 且 \(1/p+1/q=1\), 对于 \(x,y\geq 0\) 有

\[xy \leq \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}. \]

做变量替换 \(u = x^p/p\), \(v^q = y^q/q\), 再代换 \(\alpha = 1/p\), 则有

\[\alpha^{-\alpha} (1-\alpha)^{-(1-\alpha)} \cdot u^\alpha v^{1-\alpha} \leq u + v. \]

我们接下来证明转换后的这个不等式.

证明

根据实数的稠密性, 只需证明 \(\alpha\) 是有理数的情况.

设 \(\alpha = m/n\) 是有理数, 取 \(N\to\infty\) 为 \(n\) 的倍数, 根据二项式展开, 显然有

\[(u+v)^N \geq \binom{N}{\alpha N} u^{\alpha N} v^{(1-\alpha)N}. \]

又容易证明, \(f(k) = \binom{N}{\alpha N} \alpha^k (1-\alpha)^{N-k}\) 在 \(k = \alpha N\) 处取得最大值, 所以

\[\binom{N}{\alpha N} \alpha^{\alpha N} (1-\alpha)^{(1-\alpha)N} \geq \frac1{N+1} \sum_{k=0}^N f(k) = \frac 1{N+1} (\alpha + 1-\alpha)^N = \frac 1{N+1}. \]

这就说明了

\[\binom{N}{\alpha N} u^{\alpha N} v^{(1-\alpha)N} \geq \frac {\alpha^{-\alpha N} (1-\alpha)^{-(1-\alpha)N}}{N+1} u^{\alpha N} v^{(1-\alpha)N}. \]

开 \(N\) 次根, 得到

\[u + v \geq \frac 1{(N+1)^{1/N}} \alpha^{-\alpha} (1-\alpha)^{-(1-\alpha)} u^\alpha v^{1-\alpha}. \]

当 \(N\to\infty\) 时, \(\frac 1{(N+1)^{1/N}} \to 1\), 所以

\[u + v \geq \alpha^{-\alpha} (1-\alpha)^{-(1-\alpha)} u^\alpha v^{1-\alpha}. \]

证毕. \(\square\)