秩有界的矩阵空间

\(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\)

记 \(k^{n\times m}\) 是 \(n\times m\) 的矩阵构成的线性空间, 它的一个线性子空间 \(\mathcal{M}\subseteq k^{n\times m}\) 称为矩阵空间.

定理 (Dieudonné–Flanders–Meshulam) 若矩阵空间 \(\mathcal{M}\) 满足对于任意 \(M\in \mathcal{M}\) 有 \(\rank(M) \leq r\), 则有

\[\dim \mathcal{M} \leq r \cdot \max(n,m). \]

Dieudonné (1949) 一开始考虑了 \(n=m, r=n-1\) 的情况. Flanders (1962) 证明了一般的情形. 但是他们的论述需要域 \(K\) 不能太小, 注意将矩阵空间 \(\mathcal{M}\subseteq k^{n\times m}\) 扩张到更大的域 \(k\subset K\) 中 \(\mathcal{M} \otimes_k K \subseteq K^{n\times m}\) 会保持 \(\dim\) 不变, 但有可能取到更大的 \(\rank\)! 最后的完整论述由 Meshulam (1985) 给出, 他的证明对任何域都有效.

这个上界 \(r \cdot \max(n,m)\) 是紧的, 只需考虑形如 \(k^{r\times m}\) 或者 \(k^{n\times r}\) 的矩阵空间. 接下来我们考虑如何证明.

证明

我们只需证明, 若 \(\dim(\mathcal M) > r\cdot \max(n, m)\), 则存在 \(\rank > r\) 的矩阵.

设 \(d = \dim(\mathcal M)\), 我们先选出矩阵空间的一组基 \(M_1,\dots, M_d\). 按照矩阵的第 \((i, j)\) 项的字典序进行消元, 我们可以不妨设 \(M_1,\dots,M_d\) 的主元 \((i, j)\) 各不相同.

断言: 将这些基元素的主元 \((i, j)\) 看作一条边, 这个二分图存在大小 \(>r\) 的匹配.

断言的证明. 反设匹配 \(\leq r\), 根据最大流最小割定理, 一定能选出 \(a\) 行 \(b\) 列, 使得 \(a+b\leq r\) 且所有主元 \((i, j)\) 都落在其中一行或其中一列. 然而, 这推出主元数量 \(d\leq am + bn \leq r\max(n, m)\), 矛盾. \(\square\)

现在, 我们只保留对应的基 \(M_1,\dots,M_{r+1}\) 和主元所在的行列, 这意味着我们只考虑那个子矩阵构成 \(k^{(r+1)\times (r+1)}\) 的一个 \(r+1\) 维子空间. 只要我们能在这里构造出一个秩为 \(r+1\) 的矩阵, 就对应于原空间的一个秩 \(> r\) 的矩阵.

现在注意, 我们保留的基 \(M_i\) 满足 \(M_i\) 的前 \(i-1\) 行都是 \(0\), 第 \(i\) 行的第一个非零元素是 \(j_i\), 其中 \(j_i\) 关于 \(i\) 互不相同.

这意味着, 如果我们记 \(v_i\) 为矩阵 \(M_i\) 的第 \(i\) 行, 那么 \(v_i\) 线性无关. 我们可以做一个基变换, 将 \(v_i\) 变为 \(e_i\). 现在矩阵 \(M_i\) 就满足前 \(i-1\) 行都是零, 而第 \(i\) 行是 \(e_i\).

最后让我们证明, 可以再做一系列消元, 使得 \(M_i\) 的一个线性组合是对角线非零的下三角矩阵, 在消元的过程中, 我们将 \(M_i\) 的限制放宽到:

• \(M_i\) 的前 \(i-1\) 行都是 \(0\), 而第 \(i\) 行的主元是第 \(i\) 列 (也就是说后面可以有非零元).

我们进行如下的归纳过程: 对于前 \(i\) 个矩阵, 我们将他们线性组合得到一个矩阵 \(Q_i\), 使得:

• \(Q_i\) 的前 \(i\) 行满足了前述的下三角条件.

对于 \(i=0\) 的归纳假设是显然的. 现在我们考虑纳入第 \(i+1\) 行.

• 首先, 我们可以将 \(Q_i + \lambda M_{i+1}\) 得到一个 \((i+1,i+1)\) 位置非零的矩阵, 并且这没有破坏前 \(i\) 行.
• 接下来, 用第 \(i+1\) 列消去再往后列的 \((i+1, j)\) 位置的数. 这使得得到的矩阵 \(Q_{i+1}\) 的前 \(i+1\) 行满足了下三角条件.
• 由于上面的操作是从第 \(i+1\) 列往后消去, 所以不会影响前 \(i\) 行的下三角条件. 也不会影响 \(j>i+1\) 的 \(M_j\) 的主元位置.

一直做到 \(i=r+1\), 我们就得到了一个非奇异下三角矩阵. \(\square\)