Pick定理,证明与应用

\(Pick\)定理

一张方格纸上,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是格点.

如果取一个格点做原点\(O\),取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴\(OX\)和纵坐标轴\(OY\),并取原来方格边长做单位长,建立一个坐标系.这时前面所说的格点,显然就是纵横两坐标都是整数的那些点.

一个多边形的顶点如果全是格点,这多边形就叫做格点多边形.其面积\(S\)和内部格点数目\(n\),多边形边界上的格点数目\(l\)的关系是:

\(S=n+\frac{l}{2}-1\)

证明

众所周知,任意多边形\(AB\)都可以视作由一个三角形\(A\)和另一个多边形\(B\)构成,我们可以采用数学归纳法证明

也是若\(B\)符合\(pick\)定理,那么只要证明任意三角形符合\(pick\)定理并且\(AB\)符合\(pick\)定理

下面将从这两点分别证明

(Ⅰ) 任意长宽都平行于网格的长方形符合\(Pick\)定理

设任意该矩形\(C\)的长为\(a_C\),宽为\(b_C\),利用简单的\(pq\)公式可知

\(S_C=a_C\times b_C=(a_C-1)\times (b_C-1)+(a_C+b_C)-1=n_C+\frac{l_C}{2}-1\)

(Ⅱ) 上述矩形沿对角线分割出的\(Rt\)三角形符合\(Pick\)定理

设任意该\(Rt\)三角形\(D\)的两条直角边长为\(a_D\),为\(b_D\),斜边上共有\(x_D\)个格点

\(S_D=\frac{1}{2}a_D\times b_D=\frac{(a_D-1)(b_D-1)-(x_D-2)}{2}+\frac{(a_D+b_D)+(x_D-2)}{2}-1=n_D+\frac{l_D}{2}-1\)

在证明任意三角形符合\(pick\)定理之前,我们需要把另外一个结论证明,即若\(A\),\(B\)均符合\(pick\)定理,那么\(AB\)组合图形同样符合\(pick\)定理

(Ⅲ)若\(A\),\(B\)均符合\(Pick\)定理,那么\(AB\)组合图形同样符合\(Pick\)定理

\(S_A=n_A+\frac{l_A}{2}-1\)

\(S_B=n_B+\frac{l_B}{2}-1\)

如果\(A\)和\(B\)共享一条边,这个边上有\(n_{AB}\)个点

那么\(S_{AB}=S_A+S_B=(n_A+n_B)+\frac{l_A+l_B}{2}-2=[n_A+n_B+(n_{AB}-2)]+\frac{l_A+l_B-2(n-2)-2}{2}-1=n_{AB}+\frac{l_{AB}}{2}-1\)

(Ⅳ) 任意三角形符合\(Pick\)定理

众所周知,利用割补法,我们能把任意一个三角形用一个上述长方形割掉三个上述直角三角形表示

根据(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)结论易证任意三角形符合\(Pick\)定理

接下来根据数学归纳法易证\(Pick\)定理成立

应用

\(Pcik\)定理有许多有趣的应用,其中百度百科页面上就介绍了一条

\(Pick\)定理与\(Farey\)数列

\(Farey\)数列是百余年前的发现,在近代数论中有广泛的应用.

我们把\([0,1]\)中的分母不大于\(n\)的最简分数从小到大排成一列,该数列称为\(n\)阶\(Farey\)数列,记为\(F_n\)

\(Farey\)数列看似与格点几何毫无关系,但是\(Farey\)数列有一性质能用\(Pick\)定理证明(数学,很神奇吧)

设\(\frac{a}{b}<\frac{a'}{b'}\)是\(n\)阶\(Farey\)数列的相邻两项,那么有:\(a'b-ab'=1\)

证明如下:

我们考虑顶点为\(O(0,0),A(b,a),B(b',a')\)的格点三角形,\(S_{\triangle OAB}=\frac{a'b-ab'}{2}\).

该三角形的\(OA\)和\(OB\)边上无点,因为根据\(Farey\)数列要求最简分数的定义,\(a,b\)互质

若该三角形内部或\(AB\)边上还有其它格点\(C(d,c)\),考虑斜率\(k_{OA}<k_{OC}<k_{OB}\),即\(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}<\frac{a'}{b'}\)

又由于\(\frac{a}{b},\frac{a'}{b'}\)是\(Farey\)数列的相邻两项,根据\(Farey\)数列定义,矛盾

因此\(n_{OAB}=0,l_{OAB}=3\),根据\(Pick\)定理\(S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}=\frac{a'b-ab'}{2}\)

\(a'b-ab'=1\)

\(Pick\)定理与函数\(y=-x+p(p为素数)\)

这个函数的直线将恰好通过第一象限里的\(n-1\)个格点.将这\(n-1\)个点分别和原点相连,得到了\(n-2\)个三角形.而每个三角形内部所含的格点数一样多

注意到这些三角形全都面积相等,另外注意到\(x\)与\(y\)的和是一个素数,这表明\(x\)和\(y\)是互素的

前者是因为全部等底同高,后者可以假设\(x\),\(y\)有一公约数\(q\),那么\(p\)也将有一约数\(q\),与\(p\)为素数矛盾

也就是说\((x,y)\)和原点的连线不会经过其它格点,也就是他们的\(l\)全都相等,\(n\)也就全都相等

\(Pick\)定理与正方形

一个\(m\times m\)的正方形\(E\)最多可以覆盖\((m+1)^2\)个格点(就是正着摆)

根据\(Pick\)定理,\(n_E+\frac{l_E}{2}-1=m^2\)

正方形边长为\(4n\),而正方形边上相邻两个格点距离至少为\(1\)，因此正方形顶点及边上最多有\(4n\)个格点

显然它覆盖的格点\(n_E+l_E=n_E+\frac{l_E}{2}-1+\frac{l_E}{2}+1≤m^2+\frac{4m}{2}+1=(m+1)^2\),证完