一些矩阵的定义

实对称矩阵：

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。

性质：实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交。特征值都是实数。可以相似对角化。

正定矩阵：

给定一个大小为n*n的实对称矩阵A，若对于任意长度为n的非零向量X，有 X^TAX>0恒成立，则矩阵A是一个正定矩阵。

 

几何意义：对于任意向量X，经过一个A变换后的新向量和原理X向量夹角小于90度。则A是正定矩阵。由于所有变换可以看作是特征向量方向的拉伸，所以正定矩阵的特征值是正的，且这是正定矩阵的充要条件。

半正定矩阵:

给定一个大小为n*n的实对称矩阵A，若对于任意长度为n的非零向量X，有 X^TAX>=0恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵。

 

几何意义：对于任意向量X，经过一个A变换后的新向量和原理X向量夹角小于等于90度。则A是半正定矩阵。