一阶线性微分方程

一阶线性微分方程经常在经济学中遇到,在此进行记录.

定义

形如以下形式的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。

\[\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \]

齐次形式

对于Q(x)=0的情况,称为一阶齐次线性微分方程,通解为:

\[y = C e^{- \int P(x) dx} \]

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

非齐次形式

对于Q(x)$\neq$0的情况,称为一阶费齐次线性微分方程,通解为:

\[y = C e^{- \int P(x) dx} + C e^{- \int P(x) dx} \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx \]

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意一点,Q(x)和P(x)的正负号容易搞错.