二次剩余

学习博客：https://blog.csdn.net/stevensonson/article/details/85845334

之前就想学过，但是是在 \(oiwiki\) 上学的，那个其实写的有些错误，而且挺难懂的，所以还是推荐自己找博客学习。

什么是二次剩余？

如果存在一个整数 \(x\)，满足 \(x^2\equiv n \,(mod \,p)\) ，那么称 \(n\) 是模 \(p\) 的二次剩余。

对于方程 \(x^2\equiv n \,(mod \,p)\) ，有 \(\frac{p-1}{2}\) 不同的 \(n\) ,使得方程有解

首先明确不考虑 \(n==0\) (二次剩余的定义)

因为对于一个\(u\)，如果大于 \(p\)，即\(u=x*p+y\) ，模 \(p\) 之后等价于 \(y\)，所以我们首先将 \(u\) 限制在 \([1,p-1]\) 这个范围内。

首先证明有两个解：

\(u^2\equiv n \,mod \,p\) ，那么一定存在 \((p-u)^2 \equiv n \,mod\,p\) 一定成立。

所以对于一个数 \(n\) ，如果存在解，那么至少存在两个。

再而证明最多两个解：

\(x_1^2\equiv n\,mod\,p\) ，\(x_2^2\equiv n\,mod\,p\)

那么 \(x_2^2-x_1^2\equiv 0\,mod\,p\) ，所以 \((x_1+x_2)*(x_1-x_2)|p\) ，因为 \(0<x1,x2<p\) ，所以 \((x_1+x_2)=p\) ，这个解就是上式的 \(u\) 和 \(p-u\) ，所以最多只有两个解。

综上所述，所以有 $\frac{p-1}{2} $二次剩余的解 \(n\) 在 \([1,p-1]\) 中对应了两个数，所以一定存在 \(\frac{p-1}{2}\) 个数没有在 \([1,p-1]\) 中没对应数，那么这些数 \(y\) 永远不会对应任何 \(x\) 使得 \(x^2\equiv y \,mod\,p\) ， 因为大于 \(p-1\) 的数都可转化到 \([0,p-1]\) 中来。

判断一个数是否是模 \(p\) 的二次剩余，勒让德符号 \(\frac{n}{p}\)

如果 \(n\) 是模 \(p\) 的二次剩余，那么 \(\frac{n}{p}=1\)

如果 \(n\) 不是模 \(p\) 的二次剩余，那么 \(\frac{n}{p}=-1\)

如果 \(p|n\) ，那么 \(\frac{n}{p}=0\)

结论：

如果p是一个奇质数，那么 \(\frac{n}{p}=n^{\frac{p-1}{2}}\)

最后也是最重要的：求解二次剩余

在 \([0,p-1]\) 随机挑一个数 \(a\) ，令 \(w=a^2-n\) ，如果 \(w\) 是模 \(p\) 的一个非二次剩余，那么 \((a+\sqrt{w})^{\frac{p+1}{2}}\) 是一组二次剩余。

证明：

\((a+\sqrt{w})^p \equiv a^p+(\sqrt{w})^p\,mod\,p\)

由费马小定理可得：\(a^p\equiv a\,mod\,p\)

因为 \(w\) 是模 \(p\) 的一个非二次剩余，而 \(p\) 又是一个奇质数，所以 \(w^{\frac{p-1}{2}}=-1\) 那么 \(\sqrt{w}^p=-\sqrt{w}\)

所以 $(a+\sqrt{w})^p \equiv a^p+(\sqrt{w})p \equiv (a-\sqrt{w}),mod,p $

所以\((a+\sqrt{w})^{p+1} \equiv (a-\sqrt{w})*(a+\sqrt{w}) \equiv a^2-w \equiv n \,mod\,p\)

证毕！

struct num {  //建立一个复数域
    ll x, y;
};
ll w;
num mul(num a, num b, ll p) {  //复数乘法
    num ans = {0, 0};
    ans.x = ((a.x * b.x % p + a.y * b.y % p * w % p) % p + p) % p;
    ans.y = ((a.x * b.y % p + a.y * b.x % p) % p + p) % p;
    return ans;
}

ll binpow_real(ll a, ll b, ll p) {  //实部快速幂
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans % p;
}

ll binpow_imag(num a, ll b, ll p) {  //虚部快速幂
    num ans = {1, 0};
    while (b) {
        if (b & 1) ans = mul(ans, a, p);
        a = mul(a, a, p);
        b >>= 1;
    }
    return ans.x % p;
}

ll cipolla(ll n, ll p) {
    n %= p;
    if (p == 2) return n;
    if (binpow_real(n, (p - 1) / 2, p) == p - 1) return -1;
    ll a;
    srand(time(NULL));
    while (1) {  //生成随机数再检验找到满足非二次剩余的a
        a = rand() % p;
        w = ((a * a % p - n) % p + p) % p;
        if (binpow_real(w, (p - 1) / 2, p) == p - 1) break;
    }
    num x = {a, 1};
    return binpow_imag(x, (p + 1) / 2, p);
}