二分图定理

二分图的一些定理

最小顶点的覆盖=最大匹配数
最小顶点覆盖数：就是最少的顶点来覆盖所有的边。
证明：
设最小的顶点覆盖为M
1.M是足够的，如果还有一条边没有被覆盖，说明这个匹配还可以再加一条边，所以这个就与最大匹配数位M矛盾。
2.M是必须的，匹配的M条边，由于两两互不相交，所以至少需要M个顶点。

最大独立集
定义：在二分图中，选择一些点，使得这些点两两没有边直接相连。
最大独立集=总数-最小顶点覆盖
证明：
最小顶点覆盖的每一个点都会尽可能的去覆盖更多的边，每一个最小定点覆盖的点的对面都会被算到最大独立集中去。
如果有一个最大独立集中的点有边把它连起来，如果最大独立集中有点有边，那么最大匹配就会更优。

DAG最小路径覆盖
定义：能覆盖所有点的最少路径数
最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数
如果图不连通，最小路径覆盖即为点数，每多一次匹配，会多覆盖一个点，
最小路径数-1。又因为每个点只能用一次，所以最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数 。