中微笔记-cp.1 技术

在生产者理论中，我们主要通过生产函数描述技术。本章主要围绕生产函数的设定展开。

1. 对技术的说明

这里给出一组概念的定义：

定义
(1) 净产出：$$y_{j} = y_{j}^{o} -y_{j}^{i},\quad j=1,\cdots,n$$
其中，\(y_{j}^{o}\)表示第\(j\)种产品的产出，\(y_{j}^{i}\)表示第\(j\)种产品的投入；

(2) 生产计划：$$\mathbf y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$$
(3) 生产可能集：$$Y = {\mathbf y\in \mathbb{R}^{n}:\mathbf y \text{在技术上是可行的}}$$
(4) 受约束的生产可能集：$$Y(\overline{y_{i}}) = {\mathbf{y}\in Y:y_{i}=\overline{y_{i}}}$$
(5) 投入要求集：$$V(y)={\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}_{+}:(y,-\mathbf{x})\in Y}$$
(6) 等产量线：$$Q(y)={\mathbf{x}\in V(y):\forall y^{\prime}>y,\mathbf{x}\notin V(y^{\prime})}$$
(7) 生产函数：$$f(\mathbf{x})=\max{y\in\mathbb{R}:(y,-\mathbf{x})\in Y}$$

2. 对技术的假设

2.1 单调技术

单调性：若\(\mathbf{x}\in V(y)\)，且\(\mathbf{x}^{\prime}\geq \mathbf{x}\)，则\(\mathbf{x}^{\prime}\in V(y)\)

单调性假设要求厂商在生产时能够自由取舍，即厂商能够零成本处理多余的生产要素，不存在产能过剩的问题。

2.2 凸技术

凸性：若\(\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime} \in V(y)\)，则\(t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{x}^{\prime}\in V(y)\)，其中\(0\leq t\leq 1\)

凸性要求生产技术可以复制。厂商能够复制小型的生产规模，并在不同方案之间进行组合，从而实现较大的生产规模。

凸技术的性质
(1) 若生产可能集\(Y\)是凸的，则与\(Y\)对应的投入要求集\(V(y)\)是凸的；
(2) \(V(y)\)是凸集当且仅当生产函数\(f(\mathbf{x})\)是拟凹函数；

2.3 正则技术

正则性：\(\forall y\geq 0, V(y)\)是非空且闭的

正则性保证了投入要求集中的任何一个收敛序列的极限都在投入要求集中，或者说投入要求集必须包含自身的边界。

3. 对技术的刻画

3.1 技术替代率(Technical Rate of Substitution, TRS)

技术替代率指的是在给定的产量水平下，增加一单位某要素的投入量，对应需要减少另一要素投入的数量。在二维情况下，技术替代率即等产量线的斜率。

在给定产出水平的情况下，等产量线可表示为$$y\equiv f(x_{1},x_{2})$$
根据隐函数定理可知：$$TRS\triangleq \frac{dx_{2}}{dx_{1}}=-\frac{\partial f/\partial x_{1}}{\partial f/\partial x_{2}}$$

3.2 替代弹性(Elasticity of Substitution)

技术替代率衡量等产量线的斜率，替代弹性衡量等产量线的曲率。具体而言，替代弹性衡量在产量水平恒定的情况下，技术替代率相对变动对要素投入比率相对变动的影响。替代弹性可表示为$$\sigma = \frac{d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}/\frac{d\text{TRS}}{\text{TRS}}$$
对数形式可表示为$$\sigma = \frac{d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\text{TRS}}$$

3.3 规模弹性(Elasticity of Scale)

规模报酬不变需要满足如下任意一个条件：
(1) \(\forall t\geq 0\)，若\(y\in Y\)，则\(ty\in Y\)；
(2) \(\forall t\geq 0\)，若\(\mathbf{x}\in V(y)\)，则\(t\mathbf{x}\in V(ty)\)；
(3) \(f(t\mathbf{x})=tf(\mathbf{x})\)，即生产函数\(f(x)\)是一次齐次的；

规模报酬递增：\(\forall t>1, f(t\mathbf{x})>tf(\mathbf{x})\)；

规模报酬递减：\(\forall t>1, f(t\mathbf{x})<tf(\mathbf{x})\)；

规模弹性衡量的是所有投入品的相对变动对产出相对变动的影响。令函数\(y(t)=f(t\mathbf{x})\)，则规模弹性可表示为$$e(\mathbf{x}) = \frac{dy(t)/y(t)}{dt/t}$$

4 常用的生产函数

4.1 齐次函数和位似函数

齐次函数：函数\(f(\mathbf{x})\)是\(k\)次齐次函数，若\(\forall t>0, f(t\mathbf{x})=t^{k}f(\mathbf{x})\)

位似函数：齐次函数的单调递增变换。即$$f(\mathbf{x})=g(h(\mathbf{x}))\quad\text{其中，}g(\cdot)\text{是一个单调增函数，}h(\cdot)\text{是一个齐次函数}$$

位似函数的性质
(1) 若\(f(\mathbf{x})=f(\mathbf{x}^{\prime})\)，则\(f(t\mathbf{x})=f(t\mathbf{x}^{\prime})\)
(2) 位似函数的技术替代率与规模\(t\)无关
(tip: 由于齐次函数是一种特殊的位似函数，因此位似函数的性质同样适用于齐次函数)

4.2 CES生产函数

不变替代弹性(constant elasticity of substitution, CES)生产函数表达式为$$y=(a_{1} x_{1}^{\rho} + a_{2} x_{2}^{\rho} )^{1/\rho}$$

CES生产函数的性质
(1) 技术替代率$$TRS = -\frac{a_{1}}{a_{2}}\Big(\frac{x_{1}}{x_{2}}\Big)^{1-\rho}$$
(2) 替代弹性$$\sigma = \frac{d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\text{TRS}}=\frac{1}{1-\rho}$$
(3) 规模弹性$$e(\mathbf{x})=1$$