非参数统计：第二章 单样本数据

目录

• 单样本位置参数检验
  • 符号检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计决策
  • 广义符号检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
      • 第四步：做出统计决策
    • 大样本近似检验
  • Wilcoxon符号秩和检验
    • 基本思想
    • 检验步骤
      • 第一步：提出原假设
      • 第二步：构造检验统计量
      • 第三步：计算伴随概率
    • 大样本近似检验

单样本位置参数检验

符号检验

基本思想

将样本数据减去原假设的中位数，样本大于中位数的个数应与小于中位数的个数相等。

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:Q_{0.5}=q_0\)；\(H_1:Q_{0.5}\neq q_0\)

第二步：构造检验统计量

记\(s^-\)为样本数据小于\(q_0\)的个数，\(s^+\)为样本数据大于\(q_0\)的个数；\(n=s^++s^-\)

\(k = \min\{s^+,s^-\}\sim B(n,0.5)\)

第三步：计算伴随概率

• 单侧检验：\(P(K\leq k)\)
• 双侧检验：2\(P(K\leq k)\)

注意这里是累积概率而非点概率。

第四步：做出统计决策

略

---

广义符号检验

基本思想

将样本数据减去原假设的分位数，样本大于分位数的个数应与小于分位数的个数之比应该等于\((1-\pi)/\pi\)。

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:Q_{\pi}=q_0\)；\(H_1:Q_{\pi}\neq q_0\)

第二步：构造检验统计量

记\(s^-\)为样本数据小于\(q_0\)的个数，\(s^+\)为样本数据大于\(q_0\)的个数；\(n=s^++s^-\)

\(s^- \sim B(n,\pi)\)

第三步：计算伴随概率

• 单侧检验：样本分位数大于假设值--\(P(K\leq s^-)\)；样本分位数小于假设值--\(1-P(K\leq s^--1)\)
• 双侧检验：2\(\min\{P(K\leq s^-),1-P(P(K\leq s^--1)\}\)

第四步：做出统计决策

略

大样本近似检验

大样本条件下，\(K\)近似服从正态分布：
\(K\sim N(n\pi,n\pi(1-\pi))\)

---

Wilcoxon符号秩和检验

基本思想

在符号检验的基础上考虑了数据大小的排序。

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:Q_{\pi}=q_0\)；\(H_1:Q_{\pi}\neq q_0\)

第二步：构造检验统计量

1. 计算\(|X_i-X_0|\)
2. 将\(|X_i-X_0|\)从小到大排序
3. 令\(W^+\)等于\(X_i-X_0>0\)的\(|X_i-X_0|\)的秩和
4. 令\(W^-\)等于\(X_i-X_0<0\)的\(|X_i-X_0|\)的秩和

• 单侧检验：样本中位数大于假设值--\(W=W^-\)；样本中位数小于假设值--\(W=W^+\)
• 双侧检验：\(W = min(W^-,W^+)\)

第三步：计算伴随概率

伴随概率的生成函数：
\(M(t)=\dfrac{1}{2^n}\prod_{j=1}^{n}(1+e^{tj})\)

展开得到：
\(M(t)=a_0+a_1e^t+a_2e^{2t}+...\)

有\(P(W^+=j)=a_j\)

大样本近似检验

大样本条件下，W统计量近似服从正态分布：
\(W\sim N(n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24)\)