非参数统计：第三章 两样本数据

目录

成对数据检验

成对数据化为单样本数据检验需要满足以下条件：

  • 每一对数据来自同一个或者可比较的相似对象
  • 对之间相互独立
  • 都是连续变量

检验方法

记两样本分别为\(X_i\),\(Y_i\)，构造\(D_i=X_i-Y_i\)；对\(D_i\)数据进行单样本位置参数的检验即可。

两样本位置参数检验

Brown-Mood中位数检验

基本思想

若两样本中位数相同，则将样本数据混合后，样本数据应均匀分布在混合后的中位数两侧。

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:M_X=M_Y\)；\(H_1:M_x\neq M_Y\)

第二步：构造检验统计量

根据混合排序后的结果可绘制2×2列联表：

\(X\) \(Y\) 总和
\(\geq M_{XY}\) \(A\) \(B\) \(t\)
\(\leq M_{XY}\) \(C\) \(D\) \((m+n)-t\)
总和 \(m\) \(n\) \(m+n\)

当\(m\),\(n\)和\(t\)固定时，\(A\)的服从超几何分布：
\(A\sim H(t,m,m+n)\)

第三步：计算伴随概率

\(p(A=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\binom{n}{t-k}}{\binom{m+n}{t}}\)

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

在大样本条件下，\(A\)近似服从正态分布：
\(A\sim N(mt/(m+n),mnt(m+n-t)/(m+n^3))\)

大样本双边检验可使用Pearson\(\quad\chi^2\)检验：
\(K=\dfrac{(2a-m)^2(m+n)}{mn}\sim \chi^2(1)\)

Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和检验

基本思想

将两样本混合后，两样本在混合样本中的秩和相等。

使用条件

两总体分布形状类似（否则使用B-M检验效果更好）

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:M_X=M_Y\)；\(H_1:M_x\neq M_Y\)

第二步：构造检验统计量

记混合后\(X\)样本的秩和为\(W_X\)，\(Y\)样本的秩和为\(W_Y\)；

\(W_{XY}\)表示混合样本中\(Y\) 大于\(X\)的个数，\(W_{YX}\)表示混合样本中\(X\) 大于\(Y\)的个数；

则存在以下关系：

\(W_Y=W_{XY}+\dfrac{1}{2}n(n+1)\)
\(W_X=W_{YX}+\dfrac{1}{2}m(m+1)\)
\(W_{XY}+W_{YX}=mn\)

令\(W=\min\{W_{XY},W_{YX}\}\)

第三步：计算伴随概率

递推公式为：

\(P(W=k)=P_{m,n}(k)=\dfrac{n}{m+n}P_{m,n-1}(k-m)+\dfrac{m}{m+n}P_{m-1,n}(k)\)

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

在大样本条件下，\(W_{XY}\)近似服从正态分布：
\(W_{XY}\sim N(mn/2,mn(m+n+1)/12)\)

配对二元数据（McNemar检验）

基本思想

绘制列联表，数据集中在主对角线上，说明两样本一致性强。

检验步骤

第一步：提出原假设

\(H_0:\pi_a=\pi_b\)；\(H_1:\pi_a\neq \pi_b\)

第二步：构造检验统计量

构造卡方统计量：
\(\chi^2=\dfrac{(n_{12}-n_{21})^2}{n_{12}+n{21}}\sim \chi^2(1)\)

第三步：计算伴随概率

此处查表即可

第四步：做出统计推断

略

大样本近似检验

大样本条件下，\(\chi\)近似服从标准正态分布。

多元分类数据一致性度量（Cohen‘s Kappa系数）

基本思想

绘制列联表，数据集中在主对角线上，说明两样本一致性强。

计算方式

Cohen's Kappa一致性系数定义为：
\(\kappa = \dfrac{p_a-p_e}{1-p_e}\)

其中\(p_a=\sum_{i=1}^{I}n_{ii}/n\)表示对角线（一致性）元素在样本中的占比；\(p_e=\sum_{i=1}^{I}n_{i+}n_{+i}/n^2\)表示非对角线元素在样本中的占比。

posted @ 2022-06-14 15:33  Leon_ly  阅读(1219)  评论(0)    收藏  举报