LuoguP2026 求一次函数解析式 题解

数学题目，可以用来加深理解二元一次方程组的通解。

大家应该都知道的，二元一次方程组通常会有代入法和加减法等求解方式。看其他的博客里都没有详细讲到如何解一般的二元一次方程组。下面，我们先来推导出一般二元一次方程组的通解。

设我们有以下的方程组：

\[\begin{cases}ax+by=m&...(1)\\cx+dy=n&...(2)\end{cases} \]

我们下面用的是加减消元法，读者也可以用代入消元法尝试求出二元一次方程组的通解，有想法的咱们私信。

我们先想着消\(x\)，于是乎，将\((1)\)式乘\(c\)可得：

\[acx+bcy=cm \]

再将\((2)\)式乘\(a\)可得：

\[acx+ady=an \]

然后就可以得到这样的方程组：

\[\begin{cases}acx+bcy=cm&...(3)\\acx+ady=an&...(4)\end{cases} \]

然后\((3)\)式减\((4)\)式，就可以很愉快地消掉\(x\)啦，这时就只剩：

\[(bc-ad)y=cm-an \]

\[\therefore y=\frac{cm-an}{bc-ad} \]

同理，我们再用类似的方法消掉\(y\)（具体请读者自行尝试，提示：将\((1)\) \((2)\)式中\(y\)的系数变为一个量）。得到：

\[(ad-bc)x=dm-bn \]

\[\therefore x = \frac{dm-bn}{ad-bc} \]

\(\therefore\)二元一次方程组的通解为：

\[\begin{cases}x=\frac{dm-bn}{ad-bc}\\y=\frac{cm-an}{bc-ad}\end{cases} \]

然后，这个题目跟上面的式子有什么关系呢？

学过一次函数的都知道，一次函数的解析式一般为\(y=kx+b\)，所以这样的函数在图像中会经过点\((x,y)\)。

所以，我们不妨设其经过的两个点的坐标为\((m,n),(p,q)\)，将这两个点的坐标代入\(y=kx+b\)就有：

\[\begin{cases}mk+b=n\\pk+b=q\end{cases} \]

这下你就明白了，根据上面\(\begin{cases}ax+by=m\\cx+dy=n\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x=\frac{dm-bn}{ad-bc}\\y=\frac{cm-an}{bc-ad}\end{cases}\)我们可代入求得：

\[\begin{cases}k=\frac{n-q}{m-p}\\b=\frac{pn-mq}{p-m}\end{cases} \]

所以，这道题目的轮廓就出来了，然后我们再考虑细节问题：

1. \(\frac{n-q}{m-p}\)是不是整数？不是的话该怎么约分？\(\frac{pn-mq}{p-m}\)呢？

2. 如何处理系数是负数的情况？

3. 什么时候该省略项？

我们一一解决这些问题：

A1: \(\frac{n-q}{m-p}\)是不是整数，只需要看\(n-q\)是否能被\(m-p\)整除，即是否有\((n-q)~mod~(m-p)=0\)就可以了，如果不是的话，约分也好办，取\(\gcd(n-q,m-p)\)，然后这两个数分别除以这个最大公因数。

注意！\(n-q\)和\(m-p\)尽量用一个变量来存储！\(\gcd(n-q,m-p)\)也用一个变量来存储。

A2: 如果是分子是负数，并且分母也是负数，就全部都转为正就行了，单有分子是负数更加不用变，分母是负数也全部取相反数。

A3：当x或常数项的系数为0的时候，不用输出。

具体来看看代码加深理解吧：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int m, n, p, q, a, b;
//y=ax+b
int gcd(int a, int b) {
	return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}
int main() {
	scanf("%d%d%d%d", &m, &n, &p, &q);
	printf("y=");
	int t1 = n - q, t2 = m - p, t3 = p * n - m * q, t4 = p - m;
	if(t1 % t2) {
		if(gcd(t1, t2) != 1) {
			int g = gcd(t1, t2);
			t1 /= g;
			t2 /= g;
		}
		if(t2 < 0) t2 = -t2, t1 = -t1;
		printf("%d/%d*x", t1, t2);
	} else if(t1 / t2)
		printf("%dx", t1 / t2);
	if(t3 % t4) {
//		printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
		if(gcd(t3, t4) != 1) {
			int g = gcd(t3, t4);
//			printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
			t3 /= g;
			t4 /= g;
		}
//		printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
		if(t4 < 0)	t3 = -t3, t4 = -t4;
//		printf("%d %d %d %d\n", t3, t4, t3<0, t4<0);
		if(t3 < 0) 
			printf("%d/%d", t3, t4);
		else
			printf("+%d/%d", t3, t4);
	} else if(t3 / t4 < 0)
		printf("%d", t3 / t4);
	  else if(t3 / t4)
	  	printf("+%d", t3 / t4); 
	return 0;
}

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当然，我写得这么用心，不给个赞和五星好评再走嘛？