CF1514A Perfectly Imperfect Array 题解

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给定一个长度为 \(n\) 的序列，问是否存在一个非空子序列，使得这个子序列所有元素的积不是完全平方数。

数据范围：\(t\) 组数据，\(1\leqslant t\leqslant 100\)，\(1\leqslant n\leqslant 100\)，序列中的元素在 \(1\) 到 \(10^4\) 之间。

Solution

我们不难想到，如果这个序列中所有的元素都是完全平方数，那么肯定不存在积不是完全平方数的子序列，因为无论怎么取，积一定是完全平方数。

我们不妨稍微证明一下：设这个序列可以表示成 \(p_1^2,p_2^2,\dots,p_n^2\)，然后假设存在积不是完全平方数的子序列，并且你取的元素的下标为 \(i_1,i_2\dots,i_k\)，那么他们的积就是 \(\prod\limits_{j=1}^ka_{i_j}=\prod\limits_{j=1}^kp_{i_j}^2=(\prod\limits_{i=1}^kp_{i_j})^2\)，显然这是一个完全平方数，与假设矛盾，故不存在积不是完全平方数的子序列。证毕。

我们再看，如果假设存在非完全平方数的元素，由于单个元素也能组成子序列，因此我们只需要取那个非完全平方数的元素，就可以满足题目要求。

那么这道题就写完了。

Code

int main() {
    MT {
        int n = Rint, fl = 0; while(n--) {
            int x = Rint;
            if((int)sqrt(x) * (int)sqrt(x) != x) fl = 1;
        }
        fl ? YES : NO;
    }    
    return 0;
}