SP8374 PARKET1 - PARKET 题解

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有一个 \(l\times w\) 大小的网格，其四周均被染成了红色，其余部分是棕色，已知红色网格与棕色网格的数量，求 \(l\) 与 \(w\) 的值。

Solution

接下来给各位上演一波大 力 解 方 程。

我们设红色格子的个数是 \(r\)，棕色格子的个数是 \(b\)。那么我们通过题目给出的图可以看出棕色格子所占的矩形长 \(l-2\)，宽 \(w-2\)。那么可以得到等式 \((l-2)(w-2)=b\)。

又由于我们知道网格只被涂成了红色和棕色，因此我们又得到了一个等式 \(lw=b+r\)。

由此我们得到了一个方程组：

\[\begin{cases}(l-2)(w-2)=b&(1)\\lw=b+r&(2)\end{cases} \]

我们发现这个 \((1)\) 式不做变换的话不好进行后面的计算，因此我们考虑把 \((1)\) 式拆开：

\[\begin{aligned}lw-2l-2w+4&=b\\lw&=b+2(l+w)-4\end{aligned} \]

然后我们发现，\(lw\) 既可以表示成 \(b+r\)，也可以表示成 \(b+2(l+w)-4\)，因此我们又得到了一个等式：

\[\begin{aligned}b+2(l+w)-4&=b+r\\2(l+w)-4&=r\\2(l+w)&=r+4\\l+w&=\dfrac{r+4}2\end{aligned} \]

我们再一起看一下这两个等式：

\[\begin{cases}l+w=\dfrac{r+4}2\\lw=b+r\end{cases} \]

我们发现，这就是一个典型的韦达定理，即 \(x_1+x_2=-\dfrac ba\)，\(x_1x_2=\dfrac ca\)，于是我们不妨将 \(l,w\) 看作是一个一元二次方程的两个根，于是我们就可以得到这个一元二次方程 \(x^2-\dfrac{r+4}2+r+b=0\)。

又由于题目告诉我们，\(l,w\) 保证有解，于是我们解这个方程，得：

\[x_1=\dfrac{\dfrac{r+4}2+\sqrt{\dfrac{(r+4)^2}4-4(r+b)}}{2}=\dfrac{r+4+\sqrt{(r+4)^2-16(r+b)}}{4} \]

\[x_2=\dfrac{\dfrac{r+4}2-\sqrt{\dfrac{(r+4)^2}4-4(r+b)}}{2}=\dfrac{r+4-\sqrt{(r+4)^2-16(r+b)}}{4} \]

又由于我们的 \(r,b\) 都是正整数，因此我们可以推出 \(x_1>x_2\)，因此不需要再去比较交换什么的就可以直接输出。

Code

因为代码实在是太简单，就给各位自己写吧qwq。