UVA294 约数 Divisors 题解

Content

给定 \(n\) 个区间 \([l,r]\)，求出每个区间内约数个数最大的数。

数据范围：\(1\leqslant l<r\leqslant 10^{10}\)，\(r-l\leqslant 10^4\)。

Solution

你可能需要在做这题目前了解一下约数个数定理。何谓约数个数定理？

设一个数 \(x\) 的个数可以分解为若干个质因数相乘的积，即：

\[x=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{a_i} \]

那么 \(x\) 的约数个数 \(f(x)\) 有一个这样的式子：

\[f(x)=\prod\limits_{i=1}^k(a_i+1) \]

如何证明？很简单，我们由约数定义可知，\(p_1^{a_1}\) 的约数有：\(p_1^0,p_1^1, p_1^2,\dots,p_1^{a_1}\)，共 \(a_1+1\) 个。同理 \(p_2^{a_2}\) 的约数有 \(a_2+1\) 个……以此类推，\(p_k^{a_k}\) 的约数有 \(a_k+1\) 个。因此，由乘法原理可知，\(x\) 的约数个数就是 \((a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)=\prod\limits_{i=1}^k(a_i+1)\)。

那么思路就非常清晰明了了：

1. 预处理出 \(\sqrt{10^{10}}\) 以内的所有质数，可以用埃氏筛也可以用线性筛。
2. 注意到 \(r-l\leqslant 10^4\)，因此我们考虑直接从 \(l\) 到 \(r\) 枚举每一个数。
3. 枚举每一个数时，我们枚举每一个质数，一旦发现这个质数是当前枚举到的数的因子，我们就不断地将当前枚举的数除以这个质因子，直到这个质数不再是当前述的因子为止。
4. 设我们除了 \(num\) 次，然后我们往当前枚举的数的约数个数（初始化为 \(1\)）去乘 \(num+1\)。当前数的质因子分解完了以后再和当前的答案比较，并更新答案。

Code

namespace Solution {
	int cnt, isprime[100007], prime[100007];
	
	iv ai_prime() {
		F(int, i, 2, 100000) isprime[i] = 1;
		F(int, i, 2, 100000) if(isprime[i]) Fo(int, j, i * 2, 100000, i) isprime[j] = 0;
		F(int, i, 2, 100000) if(isprime[i]) prime[++cnt] = i;
	}
	
	iv Main() {
		ai_prime();
		MT {
			ll l = Rll, r = Rll, ans = 0, res = l;
			F(ll, i, l, r) {
				ll p = i, num = 1;
				for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] <= p; ++j) {
					ll t = 0;
					while(prime[j] && !(p % prime[j])) p /= prime[j], t++;
					num *= (t + 1);
				}
				if(num > ans) res = i, ans = num;
			}
			printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of %lld divisors.\n", l, r, res, ans);
		} 
		return;
	}
}