AT2664 [AGC017A] Biscuits 题解

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有一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\)。你希望从中选出一些数，使得这些数的和对 \(2\) 取模后的结果为 \(P\)。求方案数。

数据范围：\(1\leqslant n\leqslant 50\)，\(0\leqslant P\leqslant 1\)，\(1\leqslant a_i\leqslant 100\)。

Solution

做完之后转了一圈，发现本题题解区现有题解全部都是 dp 做法。所以本人在这里来一发无脑数数做法。

不难发现，对于某组数，其和的奇偶性只和这组数中奇数的个数有关。如果奇数的个数为奇数，这组数的和就是奇数，否则就是偶数。

知道这个东西之后，这道题目就很简单了。我们先统计出数列 \(a\) 中的奇数个数 \(k\)。然后我们先考虑取多少个偶数，再考虑取多少个奇数。但是取奇数的时候要注意：如果 \(k\bmod 2\neq P\)，奇数就只能够取奇数个，否则就只能取偶数个。至于偶数你随便取多少个都可以。

因此，我们可以分类讨论求出式子：

• \(k\bmod 2=P\)，此时奇数只能够取偶数个，因此方案数为 \(\sum\limits_{i=0}^k\sum\limits_{j=0}^{n-k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\j\end{pmatrix}[2\mid i]\)。
• \(k\bmod 2\neq P\)，此时奇数只能够取奇数个，因此方案数为 \(\sum\limits_{i=0}^k\sum\limits_{j=0}^{n-k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-k\\j\end{pmatrix}[2\nmid i]\)。

其中 \([x]\) 表示条件 \(x\) 是否为真，如果为真其值为 \(1\)，否则为 \(0\)。

当然，代码实现中，我们可以灵活运用 for 循环，这样，既不用判断条件，也不需要分类讨论去求。详情请结合代码理解。

Code

日常用 #define int ll 偷懒（

namespace Solution {
#define int ll
	int n, p, cnt0, cnt1, ans, a[57], C[57][57];
	
	iv Main() {
		F(int, i, 0, 50) { //预处理组合数
			C[i][0] = 1;
			F(int, j, 1, i) C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
		}
		read(n, p);
		F(int, i, 1, n) read(a[i]), cnt0 += !(a[i] & 1), cnt1 += a[i] & 1;
		F(int, i, 0, cnt0) Fo(int, j, ((cnt1 & 1) != p), cnt1, 2) ans += C[cnt0][i] * C[cnt1][j];
		write(ans);
		return;
	}
#undef int
}