二叉树的性质

二叉树定义：

二叉树是一棵树，且每个节点都不能有多于两个的儿子，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的性质

• 在二叉树中的第\(i\)层上至多有\(2^{(i-1)}\)个结点\(（i>=1)\).
• 深度为\(k\)的二叉树至多有\(2^k - 1\)个节点\(（k>=1)\)。
• 对任何一棵二叉树T，如果其叶结点数目为\(n_0\)，度为2的节点数目为\(n_2\)，则\(n_0=n_2+1\)。
  满二叉树：深度为k且具有\(2^k-1\)个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
  完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。

具有n个节点的完全二叉树的深度为\(log_{2\times n} + 1\)。

• 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 \(2^{i-1} (i≥1)\)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明:
1. 当\(i=1\)时，第i层的节点数目为\(2^{i-1}=2^{0}=1\)。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
2. 假设当\(i>1\)，第i层的节点数目为\(2^{i-1}\)。这个是根据\(1\)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第\((i+1)\)层的节点数目为\(2^{i}\)"即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第\((i+1)\)层上的结点数目" 最多是 "第\(i\)层的结点数目的2倍"。即，第\((i+1)\)层上的结点数目最大值\(=2×2^{i-1}=2^{i}\)。
故假设成立，原命题得证！

• 性质2：深度为k的二叉树至多有\(2^{k}-1\)个结点\((k≥1)\)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
\(20+21+…+2\times k-1=2\times k-1\)
故原命题得证！

• 性质3：包含\(n\)个结点的二叉树的高度至少为\(log_2{(n+1)}\)

证明：根据"性质2"可知，高度为\(h\)的二叉树最多有\(2^{h}–1\)个结点。反之，对于包含\(n\)个节点的二叉树的高度至少为\(log_2(n+1)\)。

• 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为\(n_0\)，度为2的结点数为\(n_2\)，则\(n_0=n_2+1\)

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于\(2\)，所以\(结点总数(记为n)="0度结点数(n_0)" + "1度结点数(n_1)" + "2度结点数(n_2)\)"。由此，得到等式一。
1. (等式一)\(n=n_0+n_1+n_2\)
　 另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：\(n_1+2\times n_2\)。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
2.(等式二) \(n=n_1+2\times n_2+1\)
由(等式一)和(等式二)计算得到：\(n_0=n_2+1\)。原命题得证！