雅克比矩阵

1.计算

F: Rⁿ → Rᵐ
F(x₁, x₂, ..., xₙ) = [f₁(x), f₂(x), ..., fₘ(x)]ᵀ
雅可比矩阵J =
[ ∂f₁/∂x₁ ∂f₁/∂x₂ ... ∂f₁/∂xₙ ]
[ ∂f₂/∂x₁ ∂f₂/∂x₂ ... ∂f₂/∂xₙ ]
[ ... ... ... ... ]
[ ∂fₘ/∂x₁ ∂fₘ/∂x₂ ... ∂fₘ/∂xₙ ]

每一行：是单个输出函数 fᵢ 的梯度向量 (∇fᵢ)ᵀ（f1对每个变量的导数）（但被写成行向量）。

举例：
u = x²y
v = 5x + sin(y)
得雅克比矩阵=
[ 2xy x² ]
[ 5 cos(y) ]

2.解释

雅可比矩阵是一个矩阵，是多变量向量函数的“导数”。它描述了函数的每一个输出分量对每一个输入变量的敏感度。
假设你有一个函数，它吃进去一个向量，吐出来另一个向量：
F: Rⁿ → Rᵐ
F(x₁, x₂, ..., xₙ) = [f₁(x), f₂(x), ..., fₘ(x)]ᵀ
刚才那个例子中，x1,x2就是x，y，f₁(x),就是u，f₂(x)就是v

3.和梯度的关系

梯度是雅可比矩阵的一个非常重要的特例
情况A：多输入 -> 多输出（标准雅可比矩阵）
函数： F: R² → R²
F(x, y) = [x²y, 5x + sin(y)]ᵀ
输入维度 n = 2 (x, y)
输出维度 m = 2 (u, v)
J = [ ∂u/∂x ∂u/∂y ] = [ 2xy x² ]
[ ∂v/∂x ∂v/∂y ] [ 5 cos(y) ]

情况B：多输入 -> 单输出（这就是梯度！）
函数： f: R³ → R
f(x, y, z) = 3xy + 2yz + xz²
输入维度 n = 3 (x, y, z)
输出维度 m = 1 (只有一个输出 f)
雅可比矩阵 J 是一个 1 × 3 矩阵：
J = [ ∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z ]
= [ 3y + z², 3x + 2z, 2y + 2xz ]

结论：当函数从 Rⁿ 映射到 R（即只有一个输出）时，其雅可比矩阵就是其梯度的转置。

梯度告诉你多个输入如何影响一个输出，而雅可比矩阵告诉你多个输入如何影响多个输出。当只有一个输出时，雅可比矩阵就退化成了梯度的转置。