[HDU4055] Number String

题意

给你一个长度为N-1的字符串，第i个字母表示第i个数和第i+1个数的大小关系（I表示递增，D表示递减，？表示未知）问有多少个N排列满足该字符串的构造？

N<=1001

 

题解

明显是计数dp，思考转移方程式应该怎么推。

设dp[i][j]表示已经填好了i个数的排列且最后一位是j的方案数，注意是i的全排列。

如果第i位字符为I，则转移方程式为：

　　dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+.......+dp[i-1][1]

如果第i位字符为D，则转移方程式为：

　　dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j+2]+.......+dp[i-1][i]

这里会出现一个问题，如果在之前已经用过j这个数了呢？

例如一个N=5的全排列{3，2，4，1，5}，我们要在后面放一个3，其实我们可以把所有大于等于3的数全部加1，再放入3，该排列就变成了{4，2，5，1，6，3}

这样不仅符合条件，且保证转化后的排列一定不会重复。（因为之前的排列计数是全排列）

然后用前缀和优化一下就可以啦，注意要维护到dp[i][i+1]而不是dp[i][i]

 

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<string>
#define inf 382890
#define mod 1000000007

using namespace std;

typedef long long ll;

char op[1010];
ll dp[1010][1010];

int main()
{
    while(scanf("%s",op)!=-1)
    {
        int len=strlen(op);
        dp[0][1]=1;//只有一个1 
        for(int i=1;i<=len;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i+1;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i][j-1]; 
                if(op[i-1]!='I')
                {
                    dp[i][j]+=dp[i-1][i]-dp[i-1][j-1]+mod;
                }
                if(op[i-1]!='D')
                {
                    dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
                }
                dp[i][j]%=mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[len][len+1]);
    }
    
    return 0;
}