set题解

\documentclass{article}
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\title{集合生成规则下的数的判定问题题解}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section{题目分析}

\subsection{问题描述}
给定一个特殊集合，其生成规则如下：

1. 数字 1 属于该集合。
2. 若数字 ( x ) 属于该集合，则 ( a \times x ) 和 ( x + b ) 也属于该集合（其中 ( a ) 和 ( b ) 为给定常数）。

对于给定的数字 ( x )，判断其是否属于该集合。

\subsection{核心思路}
解决该问题的关键在于采用逆向推导法：从目标数字 ( x ) 出发，通过逆操作（除以 ( a ) 或减去 ( b )）尝试回归到初始元素 1。若能成功回归，则 ( x ) 属于该集合；否则不属于。

\section{算法设计}

\subsection{算法步骤}

1. 若 ( x < 1 )，直接判定为不属于集合（因集合元素从 1 生成，均不小于 1）。
2. 初始化临时变量 ( temp = x )，进入循环：
   • 若 ( temp = 1 )，判定为属于集合。
   • 若 ( temp ) 能被 ( a ) 整除，则 ( temp = temp / a )（规则 2 的逆操作）。
   • 否则，( temp = temp - b )（规则 2 的另一逆操作）。
   • 若 ( temp < 1 )，判定为不属于集合。
   • 若 ( temp ) 回归初始值 ( x )，说明进入循环无法到达 1，判定为不属于集合。

\subsection{算法伪代码}
\begin{algorithm}
\caption{判断数字是否属于集合}
\begin{algorithmic}[1]
\Function{isInSet}{\(n, a, b, x\)}
\If{\(x < 1\)}
\Return \False
\EndIf
\State \(temp \gets x\)
\While{true}
\If{\(temp = 1\)}
\Return \True
\EndIf
\If{\(temp \mod a = 0\)}
\State \(temp \gets temp / a\)
\Else
\State \(temp \gets temp - b\)
\If{\(temp < 1\)}
\Return \False
\EndIf
\EndIf
\If{\(temp = x\)}
\Return \False
\EndIf
\EndWhile
\EndFunction
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

\section{代码实现（C++）}

\begin{verbatim}

include

using namespace std;

bool isInSet(long long n, long long a, long long b, long long x) {
if (x < 1) {
return false;
}

long long temp = x;
while (true) {
    if (temp == 1) {
        return true;
    }
    
    if (temp % a == 0) {
        temp /= a;
    } else {
        temp -= b;
        if (temp < 1) {
            return false;
        }
    }
    
    if (temp == x) {
        return false;
    }
}

}

int main() {
int testCases;
cin >> testCases;

while (testCases--) {
    long long n, a, b, x;
    cin >> n >> a >> b >> x;
    cout << (isInSet(n, a, b, x) ? "Yes" : "No") << endl;
}

return 0;

}
\end{verbatim}

\section{复杂度分析}

\subsection{时间复杂度}
最坏情况下，算法需对 ( x ) 执行多次减 ( b ) 操作，循环次数与 ( x ) 和 ( b ) 的比值相关，时间复杂度为 ( O(\frac{x}{b}) )。实际中，由于存在提前终止条件（到达 1、小于 1 或进入循环），平均效率会更高。

\subsection{空间复杂度}
算法仅使用常数个额外变量（如 ( temp )），空间复杂度为 ( O(1) )，不随输入规模变化。

\section{总结}
本问题通过逆向思维将集合生成规则转化为逆操作判断，有效解决了数字归属判定问题。算法逻辑简洁，边界处理完善，能够应对题目给定的数据范围，准确高效地处理多组测试用例。

\end{document}