随笔分类 - OI / 学习笔记
算法学习笔记
摘要：\(\text{K-D tree}\) 学习笔记 \(\text{K-D tree}\) 是一种针对 \(k\) 维问题求解的算法，并且拥有出色的时空复杂度。 思想 \(\text{K-D tree}\) 本质上是一棵 \(k\) 维的二叉平衡树，这保证了其树高稳定在 \(\log n\) 附近，为
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摘要：线段树综合 自从模拟赛出现一道勾石线段树题目开始，命运的齿轮就开始转动。 线段树分裂 之前学过线段树合并，现在又要学线段树分裂了 \(\text{qwq}\)。 线段树分裂意在将线段树维护的信息拆成多个区间进行维护。不难发现，如果直接重新建树是 \(O(n\log n)\) 的，而线段树分裂能够做到
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摘要：拉格朗日插值学习笔记 应用 众所周知，在平面直角坐标系中，对于任意的 \(n\) 个点，都一定有一个不超过 \(n-1\) 次的函数与之相对应。拉格朗日插值适用于求解这 \(n\) 个点对应的函数。 思路 考虑给定的 \(n\) 个点的坐标表示为 \((x_i,y_i)\)，不难构造出如下函数： \
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摘要：数论分块学习笔记 性质 数论分块用于快速计算含有除法向下取整的和式，即形如 \(\sum_{i=1}^nf(i)g(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\) 的式子。当预处理出 \(f\) 的前缀和时，数论分块可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间复杂度下计算上述和式的值。
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摘要：莫比乌斯反演学习笔记 前言 之前学了一遍，只学了朴素的莫比乌斯反演，现在第二次面对不知道能否有所长进。 性质 莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 \(f(n)\)，如果难以直接求出它的值，但容易求得其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯函数反演简化运算，从而求得 \(f(
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摘要：广义后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，广义后缀自动机简称广义 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 在针对时间复杂度的分析时，\(n\) 指 \(\t
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摘要：后缀自动机学习笔记 前言 为了方便，下文有如下约定： 在下文中，后缀自动机简称 \(\text{SAM}\)。 记 \(|S|\) 为字符串 \(S\) 的长度。 记 \(\sum\) 为字符集，\(|\sum|\) 为字符集大小。 定义 字符串 \(S\) 的 \(\text{SAM}\) 是一个
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摘要：回文自动机学习笔记 定义 所谓自动机，是一个对信号序列进行判定的数学模型。即对一连串有顺序的信号关于某一个判定给出或真或假的判定。 所谓回文自动机，就是对一个字符串进行其是否为回文串的判定。也就是存储字符串 \(s\) 中的所有的回文串。与 \(\text{Manacher}\) 不同的是，\(\t
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摘要：\(\text{Manacher}\) 学习笔记 定义 所谓回文串，指的是对于一个字符串 \(s\)，若它的长为 \(n\)，下标从 \(1\) 到 \(n\)，如果 \(\forall i\in [1,n],s_i=s_{n+1-i}\)，那么字符串 \(s\) 是一个回文串。 给定一个字符串 \
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摘要：后缀数组学习笔记 定义 所谓后缀，指的是对于一个字符串 \(s\)，如果它的下标从 \(1\) 到 \(n\)，那么对于 \(s\) 的一个后缀 \(i=s[i\dots n]\)。 所谓后缀数组 sa[]，就是按照这些后缀的字典序排序后得到的数组。更具体的，后缀数组 sa[i] 中存储的是字符串
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摘要：虚树学习笔记 定义 虚树指的是不同于原树（我称之为实树）的重构树，使得在同样能够求解的情况下，整棵树的节点数更少，从而使得在存在多次询问时，一些复杂度关于树的节点数的树上算法能够在时限内求解。 常用场景 一般来说，虚树的使用场景比较单一，常见于在实树上存在一些特殊节点，并且答案与这些节点有关的题目，
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摘要：线性基学习笔记 定义 线性空间 \(V\) 内的一个极大线性无关组是 \(V\) 的一组 hamel 基 或 线性基，简称 基。 以上内容是 OI WIKI 中提及的定义。 更具体一点来说，对于一个向量组 \(v\)，如果满足对于任意的取值，使 \(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\n
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摘要：网络流学习笔记 本来是不想写的，因为不想在里面博客插入图片，但是发现网络流似乎可以牵扯出许多不为人知的图论内容，因此特此写一篇博客铺路。 前言 网络流是一种说难也不难，说简单也不简单的结构。难就难在对于一道题来说，我们难以分辨需要用到什么算法，怎么建图，因此，我们只能多做多练，积累各种各样的模型。
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摘要：基环树学习笔记 定义 基环树指的是一张有 \(n\) 个节点和 \(n\) 条边的图，如果不保证连通的话，那么整张图是一张基环树森林。并且如果将环上的任意一条边去除，那么整棵基环树会成为一棵普通的树。 分类 基环树有以下几种特殊情况，也是题目中较多出现的。 基环内向树 指的是在一棵有向基环树中，所有
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摘要：笛卡尔树学习笔记 定义 笛卡尔树是一棵特殊的二叉树，它的每个节点都包含了两个值 \((k,w)\)。其中，整棵树关于 \(k\) 为一棵二叉搜索树，而关于 \(w\) 为一个小根堆（或大根堆）。 到这里可以发现，Treap 是一种特殊的笛卡尔树，因为 Treap 相当于给定了 \(k\)，而我们人为
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