Codeforces Round #586

目录

• Contest Info
  • A. Cards
  • B. Multiplication Table
  • C. Substring Game in the Lesson
  • D. Alex and Julian

Contest Info

---

[Practice Link](https://codeforc.es/contest/1207)

Solved	A	B	C	D	E	F	G
4/7	O	O	O	Ø	-	-	-

• O 在比赛中通过
• Ø 赛后通过
• ! 尝试了但是失败了
• - 没有尝试

A. Cards

签到。

B. Multiplication Table

题意：
给出一个\(n \cdot n\)的矩阵，\(a_{i, j} = b_i \cdot b_j\)，现在告诉你\(a_{i, j}(i \neq j)\)，要你还原出\(b_i\)。

思路：
考虑\(a_{1, 2} \cdots a_{1, n}\)，我们发现\(b_1\)肯定是这些数的\(gcd\)的因数，那么枚举因数，\(n^2\)判断即可

C. Substring Game in the Lesson

题意：
给出一个字符串，问你刚开始有个子串\(S[l, r]\)，现在要求找一个\(l' \leq l, r' \geq r\)，使得\(S[l', r']\)的字典序小于\(S[l, r]\)。
两个人轮流操作，谁不能操作谁输，问两个人最优操作下，对于每个\(i\)令\(l = r = i\)，谁会胜利？

思路：
显然，如果可以找到一个\(l', r'\)，那么我们肯定可以找到最左的\(l'\)，使得下一个人没办法操作。
现在\(l = r = i\)，如果存在字典许比它小的，显然是第一个字母就比\(S_i\)小。
那么问题转化成，对于每个\(i\)，是否存在一个\(j(j < i)\)并且\(S_j < S_i\)

D. Alex and Julian

题意：
有一个集合\(B\)，以及所有的整数组成的点，对于一个整数\(i\)，那么该点的标号为\(i\)，现在如果两个点\(i, j\)满足\(|i - j| \in B\)，那么\(i, j\)之间有一条无向边。
问至少删去\(B\)中多少个数，使得所有点按要求连完边之后该图是一个二分图。

思路：

• 没有奇圈的图是一个二分图

考虑\(x, y\)，假设从\(1\)出发，往后连边，那么他们相遇的点是\(lcm(x, y) + 1\)，那么这个环的边数是：

\[\begin{eqnarray*} \frac{lcm(x, y)}{x} + \frac{lcm(x, y)}{y} = \frac{x}{gcd(x, y)} + \frac{y}{gcd(x, y)} \end{eqnarray*} \]

我们发现要使得这个式子不能为奇数，那么显然有偶加偶或者奇+奇。
我们考虑先将两个数都尽可能除\(2\)，直到这两个数的公约数中没有\(2\)为止。
然后再来判断，那么现在至少有一个数是奇数，假设为\(x\)，那么剩下的公约数肯定是个奇数。
那么考虑剩下的\(x, y\)：

• 如果\(x, y\)都是奇数，那么除掉一个奇数后还是奇数。
• 如果只有一个是奇数，那么偶数的那个除掉一个奇数还是偶数，奇数那个除掉奇数还是奇数，那么就是奇 + 偶 = 奇，不合法

所以所有可以共存的数必然满足他们的最低二进制位一样。