2019 Multi-University Training Contest 7

目录

• Contest Info
• Solutions
  • A - A + B = C
  • F - Final Exam
  • J - Just Repeat
  • K - Kejin Player

Contest Info

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[Practice Link](https://cn.vjudge.net/contest/322366#overview)

Solved	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
4/11	Ø	-	-	-	-	O	-	-	-	O	O

• O 在比赛中通过
• Ø 赛后通过
• ! 尝试了但是失败了
• - 没有尝试

Solutions

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A - A + B = C

题意：
给出三个大数\(a, b, c\)，要求找到一组\((x, y, z)\)，使得下式成立：

\[\begin{eqnarray*} a \cdot 10^x + b \cdot 10^y = c \cdot 10^z \end{eqnarray*} \]

其中\(0 \leq x, y, z, \leq 10^6\)

思路：
考虑先去掉\(a, b, c\)的后缀所有的\(0\)。
然后考虑\(c\)的最后一位是由谁来提供的，显然只有三种情况：

• \(a + b\)提供的
• \(a\)的后缀提供
• \(b\)的后缀提供

显然第一种情况，直接加一下判断一下即可。
对于第二种和第三种可以归为一类，我们只讨论第二种。
那么就找到\(a\)和\(c\)的最长公共后缀，那么把\(b\)补后缀长度个\(0\)，然后把\(a + b\)和\(c\)判一下即可。
然后有一个\(case\)，就是如果\(a\)整个串就是\(c\)的后缀，那么有可能\(b\)要多补一些\(0\)，即\(c\)是这样的：

a + 0000000000 + b

这样构成的，所以如果\(a\)整个串都是\(c\)的后缀，还要继续往前判断\(c\)的\(0\)的个数，然后\(b\)也要相应的把这些\(0\)补上。

F - Final Exam

题意：
在一场考试中，有\(n\)类问题，总分为\(m\)，你需要至少做出\(k\)个问题。
对于一类问题，如果它在试卷中的分数为\(x\)分，那么对于这类问题，你至少需要复习\(x + 1\)分钟才可以做出它
现在询问你至少需要复习多少时间，才能保证不管试卷的分数如何分布，都至少可以做出\(K\)个问题。

思路：
反过来思考，假设我知道你对于每类问题复习了多少分钟，我想让你做不出\(k\)个问题，我应该怎么办？
那么我显然是选择\(n - (k - 1)\)个你复习时间少的那些问题，然后把分数刚好设为你的那一类问题的复习时间即可。
那么如果我能成功，说明你复习时间前\(n - (k - 1)\)小的问题的时间和\(<= m\)，那么你要怎么做？

那么你需要让你前\(n - (k - 1)\)小的问题的时间和\(> m\)即可。
那么显然前\(n - (k - 1)\)小的问题的时间和固定为\(m + 1\)是最优的，那么我们考虑后面\(k - 1\)个问题的分数如何设置？
那么显然只要大于等于前\(n - (k - 1)\)小的时间的最大值即可。
那么只要让前\(n - (k - 1)\)小的时间的最大值尽量小即可，均摊即可，最大值为：

\[\begin{eqnarray*} \left\lceil \frac{m + 1}{n - (k - 1)} \right\rceil \end{eqnarray*} \]

最终的答案为：

\[\begin{eqnarray*} (m + 1) + (k - 1) \cdot \left\lceil \frac{m + 1}{n - k + 1} \right\rceil \end{eqnarray*} \]

J - Just Repeat

题意：
有两个人玩游戏，\(A\)有\(n\)张牌，\(B\)有\(m\)张牌，每张牌有颜色，如果某一种颜色的牌被另一个人先出了，那么这个人就再也不能出这种颜色的牌。
他们轮流出牌，直到谁不能出牌谁输。

思路：
每个人都想让自己可出的牌尽量多。
那么它们肯定首先想出大家共有的牌，因为这样就相当于抢占主动权。
那么我们只考虑大家共有的牌：
我们考虑两种颜色的牌，\(A\)分别有\(a_i, a_j\)张，\(B\)分别有\(b_i, b_j\)张，假如\(A\)取了\(a_i\)，那么\(A\)与\(B\)的可出牌数差为\(a_i - b_j\)，反之则为\(a_j - b_i\)。
所以\(A\)在这一轮如果选择\(a_i\)，那么说明\(a_i - b_j > a_j - b_i\)，即\(a_i + b_i > b_i + b_j\)，那么根据这个排序，贪心轮流取即可。

K - Kejin Player

题意：
一个游戏中，有\(n + 1\)级，现在告诉你从\(i \rightarrow i + 1\)，有\(p_i\)的概率升级成功，尝试升级一次需要花费\(a_i\)，如果升级失败则会调到\(x_i(x_i \leq i)\)级，问从\(l\)级升到\(r\)级的期望金钱花费。

思路：
设从\(l\)到\(r\)的期望为\(g(l, r)\), 这种期望满足减法\(g(l, r) = g(1, r) - g(1, l)\)，那么我们令\(f_i\)表示从\(1\)级升级到\(i\)级的期望，考虑怎么递推？
我们假设从\(i \rightarrow i + 1\)需要升级\(t\)次才能升级成功，那么从\(i \rightarrow i + 1\)的花费即是\(t - 1\)次升级失败的代价和\(t\)次升级成功的代价。
即：

\[\begin{eqnarray*} f_{i + 1} = f_i + a_i + (t_i - 1)(f_i - f_{x_i} + a_i) \end{eqnarray*} \]

其中\(p_i = \frac{1}{t_i}\)，所以\(t_i = \frac{1}{p_i}\)，那么有：

\[\begin{eqnarray*} f_{i + 1} = f_i + a_i + (\frac{1}{p_i} - 1)(f_i - f_{x_i} + a_i) \end{eqnarray*} \]