Codeforces 1183F Topforces Strikes Back

题意：
有\(n\)个问题，每个问题的难度为\(a_i\)，最多选出三个问题\(x, y, z\)，要求\(两两之间不能存在整除关系\)，
求最多能获得多大难度的问题集，一个问题集的难度为集合里面所有问题难度的总和。

思路：
考虑从小到大枚举一个数，然后用set维护加入的数，对于一个数\(x\)，去掉它的所有因数，去找最大的那个\(y\)，然后去掉\(y\)的所有因数，再找一个最大的\(z\)，那么这个\(x、y、z\)就是包含\(x\)以及比\(x\)小的数的可能性中最大的一种组合。

证明：
为什么不存在一个次小的\(y\)使得组合更大？
首先我们知道，如果枚举了\(x\)，以及确定了\(y\)，那么\(z\)必然是确定的。
那么我们假设我们不选最大的\(Y\)，选一个次大的\(y\)，那么\(z\)必定是\(Y\)的因数，如果不是的\(Y\)的因数，那么取
\(Y\)和\(z\)必然使得答案更优。
同理，也容易发现\(y\)也必定是\(Y\)的因数。
那么在\(y\)与\(z\)都是\(Y\)的因数的情况下，并且\(y \neq Y, z \neq Y\)，那么必然有\(y + z \leq Y\)。
所以肯定是选择最大的那个\(Y\)使得答案最优。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 200010
int n, a[N];
vector < vector <int> > vec;

int main() {
	vec.clear();
	vec.resize(200005);
	for (int i = 1; i <= 200000; ++i) {
		for (int j = i + i; j <= 200000; j += i) {
			vec[j].push_back(i); 
		}
	}
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			scanf("%d", a + i);
		}
		sort(a + 1, a + 1 + n);
		n = unique(a + 1, a + 1 + n) - a - 1;
		int res = 0;
		map <int, int> mp;
		set <int, greater <int> > s;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			res = max(res, a[i]); 
			for (auto it : vec[a[i]]) s.erase(it);
			mp[a[i]] = 1;
			if (!s.empty()) {
				int x = *s.begin();
				res = max(res, a[i] + x);   
				s.erase(x);
				for (auto it : vec[x]) s.erase(it);
				if (!s.empty()) {
					res = max(res, a[i] + x + *s.begin());
				}
				for (auto it : vec[x]) if (mp.find(it) != mp.end()) s.insert(it);
				s.insert(x);
			}
			for (auto it : vec[a[i]]) if (mp.find(it) != mp.end()) s.insert(it);
			s.insert(a[i]); 
		}
		printf("%d\n", res); 
	}
	return 0;
}