第三章 右线性文法和有限自动机

右线性文法和有限自动机

目录

有限状态系统的概念

状态：状态是可以将事物区分开的一种标识

离散状态系统：状态数有限，不能连续变化

连续状态系统：状态可以连续变化，状态数无限

有限状态系统必然是离散状态系统

有限自动机的概念

  • 具有离散输入输出的系统的一种数学模型（可以没有输入和输出）
  • 有限的状态
  • 状态 + 输入 -> 状态转移
    • 确定有限状态自动机（DFA）：在特定输入下，每次转换的后继状态唯一
    • 不确定有限状态自动机（NFA）：在特定输入下，每次转换的后继状态不唯一

有限自动机的五要素

  • 有限状态集
  • 有限输入符号集
  • 转移函数
  • 开始状态
  • 终态集合

确定有限自动机

DFA 的形式定义

DFA 是一个五元组\(M=(Q,T,\delta,q_0,F)\)

  • Q：有限的状态集合
  • T：有限的输入字母表
  • \(\delta\)：转换函数
  • \(q_0\in Q\)：初始状态
  • \(F\subseteq Q\)：终止状态集

扩展转移函数适合于输入字符串

\(\delta':Q \times T \to Q\)

对于\(\forall q\in Q\)，有

  • \(\delta'(q,\epsilon)=q\)
  • w 是字符串，a是字符，\(\delta'(q,wa)=\delta(\delta'(q,w),a)\)

DFA 接受的语言

  • DFA 接受的字符串：输入结束后使 DFA 到达终止状态的字符串
  • DFA 接受的语言：被 DFA 接受的字符串的集合
  • \(L(A)=\{w|\delta'(q_0,w)\in F\}\)

格局：描述有限自动机某一个时刻的工作状态

  • 由当前状态 q 和待输入字符串 w 构成
  • 初始格局：\((q_0,w)\)
  • 终止格局：\((q,\epsilon),q\in F\)

不确定有限自动机

NFA 的形式定义：后继状态是 Q 的子集，其余和 DFA 一样

NFA 接受的字符串：接收一个字符串后 NFA 进入的状态集包含一个或以上的终止状态，则 NFA 接受该字符串

NFA 的状态转移函数扩展

  • \(\delta'(q,\epsilon)={q}\) 空串状态不变
  • \(\delta'(q,wa)=\{p|\exist r \in \delta'(q,w)\cap p\in \delta(r,a)\}\)
    • 含义：\(\delta'(q,wa)\) 对应的状态集合是 \(\delta'(q,w)\) 对应的状态集合的每一个状态再接收字符 a 后到达的状态集合的并集

NFA 接受的语言：\(L(A)=\{w|\delta'(q_0,w)\cap F\neq \phi \}\)

NFA 和 DFA 的等价性

显然，DFA 可以看作是 NFA 的特例（状态子集只含有一个状态）

所以只需证明 NFA 可以转化成 DFA

定理：$\forall NFA 接受语言 L,\exist DFA 接受语言 L $

证明：子集构造法

\[某个NFA\quad M_N=(Q,T,\delta,q_0,F)，构造 DFA\quad M_D=(Q_D,T,\delta_D,q_0,F_D)\\ Q_D=2^Q\quad 即把原有状态集合的幂集作为新的状态集合\\ \]

有 \(\varepsilon\) 转换的 NFA

定义：当输入 \(\varepsilon\) 空串（无输入）的时候，也能引起状态转移

\(\varepsilon\) 闭包的概念

定义：一个状态 q 的 \(\varepsilon\) 闭包是状态 q 经过 \(\varepsilon\) 可以到达的所有状态（每个状态接收 \(\varepsilon\) 都可以保持不变）

一个状态集 I 的 \(\varepsilon\) 闭包就是每个状态的 \(\varepsilon\) 闭包的并集，记为 \(\varepsilon-Closure(I)\)

Ia 的概念：

对于状态子集 \(I \in Q,\forall a \in T;Ia = \varepsilon-Closure(P),P = \delta(I,a)\)，即状态集 I 经过标 a 的边可以到达的状态集的 \(\varepsilon\) 闭包

\(\varepsilon\) - NFA 的状态转移函数扩展

  • \(\delta'(q,\epsilon)=\varepsilon-Closure(q)\) 空串状态转移成空闭包
  • \(\delta'(q,wa)=\varepsilon-Closure(p),\{p|\exist r \in \delta'(q,w)\cap p\in \delta(r,a)\}\)
    • 含义：\(\delta'(q,wa)\) 对应的状态集合是 \(\delta'(q,w)\) 对应的状态集合的每一个状态再接收包含空转换的字符 a 后到达的状态集合的并集的 \(\varepsilon\) 闭包

\(\varepsilon\) - NFA 接受的语言：\(L(A)=\{w|\delta'(q_0,w)\cap F\neq \phi \}\)（与 NFA 一样，但是 \(\delta'\) 函数的定义不一样）

posted @ 2024-03-11 09:44  DrinkLessMilkTea  阅读(184)  评论(0)    收藏  举报