第二章语言与文法

语言与文法

字符串的运算

连接：把两个字符串相连
- 结合律：$(xy)z=x(yz)$
- $\varepsilon x=x \varepsilon=x$
- $|xy|=|x|+|y|$
前缀、后缀、子串
- 空串是任何字符串的前缀、后缀和子串
逆：w 的逆记为 $\overline{w}$，$\overline{w}=b_nb_{n-1}...b_1$
- 空串的逆还是空串
幂运算
- $T^0=\{\varepsilon\}$
- $x \in T^{n-1},a\in T,ax\in T^n$
- $T^n$ 就是长度为 n 的字符串的集合
- * 闭包 $T^* = T^0\cup T^1...$，字母表 T 上的所有字符串和空串的集合
- + 闭包 $T^+=T^1\cup T^2...$，字母表 T 上的所有字符串的集合
- + 闭包不包含空串

语言

语言的基本运算

积：两个语言的积就是两个语言中的字符串连接构成的集合，注意先后顺序
- 积不满足交换律
- 语言的幂：$L^n=L^{n-1}\cdot L=L\cdot L^{n-1}$
  - $L^0=\{\varepsilon\}$

定义：文法是定义语言的数学模型

表示语言的方法

元语言：用来描述语言的语言

BNF 范式：通常作为讨论程序设计语言的元语言

文法是一种元语言，一种方法，根据文法产生语言的句子

Chomsky 文法体系

文法的形式定义

文法 G 是一个四元组 G = ( N,T,P,S )
P 的形式为 $\alpha\rightarrow\beta$
- $\alpha\in(N\cup T)^*N^+(N\cup T)^*$，即 N 和 T 中字符的任意组合，至少包含一个非终结符
- $\beta\in(N\cup T)^*$，即 N 和 T 中字符的任意组合
- S 为起始符，$S\in N$

直接推导
- 对于文法 G，若有生成式 $A\rightarrow\beta;\alpha,r \in(N\cup T)^*$，则称 $\alpha A r => \alpha\beta r $为直接推导
推导序列
- 对于文法 G，若 $a_i\rightarrow a_{i+1}$，则称 $a_0=>a_1=>a_2...=>a_n$ 为长度为 n 的推导序列
- 对 $a_0$ 推导出 $a_n$ 可以记为 $a_0 \rightarrow^*_G a_n$，若推导序列长度大于 0，可以把 * 改成 +
- 推导序列的每一步都产生一个字符串，这些字符串称为句型

句型：字符串 a 是文法 G 的句型当且仅当 $S\rightarrow^*_G a$

句子：w 是 G 的句子当且仅当 $S\rightarrow ^*_G w$，且 $w\in T^* $，即 w 是由终结符组成的字符串

句型包含句子

文法产生语言的定义

由文法 G 产生的语言记为 L(G)，$L(G)=\{w|w\in T^*且S\rightarrow _G^* w\}$

文法 G 产生的语言 L(G) 是由起始符开始，利用产生式推导出来的终结符串的集合

文法根据生成式的形式分为四类：0 型，1 型，2 型，3 型

0 型：无限制，对应递归可枚举语言，与图灵机等价
1 型：上下文有关文法，生成式形式为 $\alpha\rightarrow\beta,|\alpha|\leq|\beta|,\beta\in(N\cup T)^+$，对应上下文有关语言，与线性有界自动机等价
2 型：上下文无关文法，生成式形式为 $A\rightarrow\beta,A\in N,\beta\in(N\cup T)^*$，对应上下文无关语言，与下推自动机等价
3 型：正则文法
- 右线性文法，生成式形式为 $A\rightarrow wB或A\rightarrow w,A,B\in N,w\in T^*$
- 左线性文法，生成式形式为 $A\rightarrow Bw或A\rightarrow w,A,B\in N,w\in T^*$
- 对应正则语言，与有限自动机等价

文法唯一表示一种语言，一种语言可以用多个文法表示

2 型包含 3 型，不包含 $A\rightarrow\varepsilon$ 的 2 型和 3 型属于 1 型

posted @ 2024-03-01 21:38 DrinkLessMilkTea 阅读(39) 评论(0) 收藏举报

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