浅谈近期用到的segment tree beats technology

\(\text{Segment Tree beats }\)是势能线段树的全称，泛指这种在某些情况下打tag，在某些情况暴力子树，复杂度通过势能分析证明的线段树。

主要用途：区间取 \(\min/\max\) , 区间开根号 ， 区间除 \(x\) 取整 之类不易打tag处理的区间操作。

虽然以前会一点，但是根本没做啥题，记一些题在此篇。

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CF1572F Stations

\(\text{diff:3300}\)

考虑每个点有一个“最大影响范围” \(r_i\) ，那么每次操作就是对 \(r_i\) 区间取 \(\min\) , 需要维护的东西是 \(\sum _{p<i} [r_p\geq i]\) ， 及其区间和 ，发现每个点可以影响的是一个区间。

考虑如何维护 \(r_i\) 的同时处理这种影响。

对 \(r_i\) 维护一棵 $\text{segbeats} $ ，每个节点上套路地维护 \(mx,se,cnt\) ， 接下来就是考虑每次操作对后面的影响 。

有一个线段树上对应的区间被修改，且取 \(\min\) 值介于 \((se,mx)\) 之间 ，则需要打标记，这意味着这些 \((se,mx)\) 间的值都变成了 \(c\) 所以实际上是 \([c+1,mx]\) 少被覆盖了 \(cnt\) 次 ， 再在一棵 \(\text{Fenwick Tree}\) 上减就行了。

复杂度因为 \(\text{Segment Tree beats }\) 分成了均摊 \(O((n+q) \log n)\) 个区间，每次区间加 \(O(\log n )\) ，所以是 \(O((n+q) \log ^2 n )\) 的。

单点修改就是看改长了还是改短了，进行区间加/减即可。

时间复杂度 \(O((n+q) \log ^2 n )\) 。

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P4198楼房重建

\(\text{diff:2800}\)（目测）

在线有神仙 \(O(n + q \log^2 n)\) 线段树做法，然而我太菜了，没有想到，但是题解区貌似没有找到离线单 \(\log\) 做法 。

考虑没有修改，静态问题是从前往后，数一遍 \(\min(k_1\dots k_{i-1} ) <a_i\) 的个，本质就是每次把目前的最小值和 \(a_i\) 取 \(\min\) ， 取成功了就记一次数。

在线不好处理，考虑离线，观察在时间上不具有太多特征，唯一的优点在于“单点查”，而在序列上有许多特征：单调性，前缀影响。

再加上刚刚静态问题的方法。

于是考虑时空转置，做扫描线，把时间轴看作序列，每一次修改就是在对应位置（时间） ， 对生效时间段（区间）进行取 \(\min\) ，询问前缀可以看作在位置对应时间单点查询时间对应的位置被取 \(\min\) 的次数。

维护一棵区间取 \(\min\) ，查询被取 \(\min\) 的次数 的 \(\text{Segment Tree beats }\) 即可。

将标记换成二元组 \((Tag,cnt)\) 表示区间最大值被取 \(\min\) 成了\(tag\) ， 取了 \(c\) 次，正常下放即可。

时间复杂度 \(O(n + q\log n)\) ，实际运行速度略快于 \(O(n + q\log^2n)\) 做法。

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NowCoder7615D

\(\text{diff:3000+}\)

题意：求排列的极长上升子序列的个数 , \(n\leq200000\)。

首先有个较为显然的\(O(n^2) \text{ dp}\) 。

在序列开头填 \(0\) ， 末尾填 \(n + 1\) 。

$f(i) : $ 1~i 中 i 结尾的极长上升子序列的个数 。

那么：

\(f(i) = \sum_{j<i}f(j) [a_j<a_i ,\text{j和i之间不存在 ak > aj}]\) 。

我没有考虑这个dp如何优化，其实只用在值域上建 \(\text{Segment Tree beats }\) + \(\text{set}\) 就可以大力维护了。

另一种做法： 考虑他为啥是个排列，这个时候有一种套路就是把数从小到大地加进去，就可以少考虑有关值域的东西了。

于是我们按从小到大加入每个数，（ \(inv\) 指逆排列 ）。

每次新加入的数都是最大的，加入后前面已经加入的数都不能像后面转移了。

并且每个点自加入后可以转移的范围是单调不加的 ， 且是一个区间中未加入的数。（只被取 \(\min\) ）。

于是进行的操作就是对前面点\([1,inv_i - 1]\) 进行区间取 \(\min\) ， 以及查询可以覆盖到这个点的权值和。

于是你就把一道差不多 \(\text{diff 3000}\) 的题转化成了 差不多 \(\text{diff 3300}\) 题啦。。。。

就像上面的第一题一样，用 \(\text{Segment Tree beats }\) 套树状数组就可以解决了。