HDU2138 随机素数测试 Miller-Rabin算法

题目描述

  Give you a lot of positive integers, just to find out how many prime numbers there are..

  In each case, there is an integer N representing the number of integers to find. Each integer won’t exceed 32-bit signed integer, and each of them won’t be less than 2.

  32-bit signed intege，最普通的肯定要超时，筛选法要超内存，开小的话就越界。

miller_rabin算法 

一.费马小定里

if n is prime and gcd(a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.

前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:

二.二次探测定理

二次探测定理 如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数

1、随机取一个b，2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1，通过测试，返回

4、令i=1

5、如果v=n-1，通过测试，返回

6、如果i==j，非素数，结束

7、v=v^2 mod n，i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<cmath>
bool witness(__int64 a,__int64 n)
{
    __int64 t,d,x;
    d=1;
    int i=ceil(log(n-1.0)/log(2.0)) - 1;
    for(;i>=0;i--)
    {
        x=d;  d=(d*d)%n;
        if(d==1 && x!=1 && x!=n-1) return true;
        if( ((n-1) & (1<<i)) > 0)
            d=(d*a)%n;
    }
    return d==1? false : true;
}
bool miller_rabin(__int64 n)
{
    if(n==2)    return true;
    if(n==1 || ((n&1)==0))    return false;
    for(int i=0;i<50;i++){
        __int64 a=rand()*(n-2)/RAND_MAX +1;
        if(witness(a, n))    return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    int n,cnt;
    __int64 a;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        cnt=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&a);
            if(miller_rabin(a))
                cnt++;
        }
        printf("%d\n",cnt);
    }
    return 0;
}

 

上面代码参考的是吉林大学2003年的模板，在杭电上109MS A掉。下面是网上31MS代码的miller_rabin函数，其它部分与上述代码一致。

我们发现，它只调用witness函数3次，每次都a为2,7,61，正确率显然没上面高，到时间倒挺快啊^_^

bool miller_rabin(__int64 n)
{
    int s[]={2,7,61};
    if(n==2)    return true;
    if(n==1 || ((n&1)==0))    return false;
    for(int i=0;i<3;i++)
        if(witness(s[i], n))    return false;
    return true;
}