树的直径相关
真的还有好多东西要学啊......
定理:
选取树 $T$ 的任意一个点 $i$ ,则与 $i$ 距离最远的节点 $r$ 必定是树中一条直径的端点.
定理:
经过树上一点i的最长路径的长度,一定等于:
情况1. $i$ 所引领的子树中,最大深度与次大深度之和.
情况2. $i$ 所引领的子树中的最大深度,加上 $i$ 到 $j$ 的最长路径,其中 $j$ 是一个不属于 $i$ 这个子树的节点.
当 $i$ 是树根时, $i$ 没有父节点,于是只会是情况1.
定理:
树 $T$ 的直径长度一定能表示为树 $T$ 上某个点 $i$ 所引领的子树中,最大深度与次大深度之和.
即, $\exists_{i\in V(T)}\; diameter = LargestDepth(subtree \ o \! f \ i) + SecondLargestDepth(subtree \ o \! f \ i)$
由于直径只有一个值,并且两个深度之和代表了一条路径的长度,
于是有$\forall_{i\in V(T)} \; diameter \ge LargestDepth(subtree \ o \! f \ i) + SecondLargestDepth(subtree \ o \! f \ i)$
定理:
点 $i$ 在某条直径上,当且仅当存在一条经过点 $i$ 的路径,它的长度(大于)等于直径.
AC VIJOS 1476 求在直径上的所有点. 直径可能有多条.
1 #include <cstdio>
2 #include <fstream>
3 #include <iostream>
4
5 #include <cstdlib>
6 #include <cstring>
7 #include <algorithm>
8 #include <cmath>
9
10 #include <queue>
11 #include <vector>
12 #include <map>
13 #include <set>
14 #include <stack>
15 #include <list>
16
17 typedef unsigned int uint;
18 typedef long long int ll;
19 typedef unsigned long long int ull;
20 typedef double db;
21
22 using namespace std;
23
24 inline int getint()
25 {
26 int res=0;
27 char c=getchar();
28 bool mi=false;
29 while(c<'0' || c>'9') mi=(c=='-'),c=getchar();
30 while('0'<=c && c<='9') res=res*10+c-'0',c=getchar();
31 return mi ? -res : res;
32 }
33 inline ll getll()
34 {
35 ll res=0;
36 char c=getchar();
37 bool mi=false;
38 while(c<'0' || c>'9') mi=(c=='-'),c=getchar();
39 while('0'<=c && c<='9') res=res*10+c-'0',c=getchar();
40 return mi ? -res : res;
41 }
42
43 db eps=1e-80;
44 inline bool feq(db a,db b)
45 { return fabs(a-b)<eps; }
46
47 template<typename Type>
48 inline Type avg(const Type a,const Type b)
49 { return a+((b-a)/2); }
50
51 //===================================================================
52 //===================================================================
53 //===================================================================
54 //===================================================================
55
56
57 const int INF=(1<<30)-1;
58
59 struct edge
60 {
61 int in;
62 edge*nxt;
63 }pool[405000];
64 edge*et=pool;
65 edge*eds[205000];
66 void addedge(int i,int j)
67 { et->in=j; et->nxt=eds[i]; eds[i]=et++; }
68 #define FOREACH_EDGE(i,j) for(edge*i=eds[j];i;i=i->nxt)
69
70 int n;
71
72 int dep[205000];
73 int q[205000],qh,qt;
74
75 int deg[205000];
76
77 int dia=0;
78
79 int mx[205000];
80 int mxs[205000];
81 int mxp[205000];
82 int uv[205000];
83
84 int f[205000];
85
86 int main()
87 {
88 n=getint();
89 for(int i=1;i<n;i++)
90 {
91 int a=getint();
92 int b=getint();
93 addedge(a,b);
94 addedge(b,a);
95 }
96
97 qh=qt=0;
98 q[qt++]=0;
99 memset(dep,0xFF,sizeof(int)*(n+1));
100 dep[0]=0;
101 while(qh!=qt)
102 {
103 int x=q[qh];
104 FOREACH_EDGE(i,x)
105 if(dep[i->in]==-1)
106 {
107 f[i->in]=x;
108 dep[i->in]=dep[x]+1;
109 q[qt++]=i->in;
110 deg[x]++;
111 }
112 qh++;
113 }
114
115 memset(mxp,0xFF,sizeof(int)*(n+1));
116 memset(mx,0xFF,sizeof(int)*(n+1));
117 memset(mxs,0xFF,sizeof(int)*(n+1));
118 qh=qt=0;
119 for(int i=0;i<n;i++)
120 if(deg[i]==0) q[qt++]=i;
121 while(qh!=qt)
122 {
123 int x=q[qh];
124
125 FOREACH_EDGE(i,x)
126 if(i->in!=f[x])
127 {
128 if(mx[i->in]>mx[x])
129 {
130 mxs[x]=mx[x];
131 mx[x]=mx[i->in];
132 mxp[x]=i->in;
133 }
134 else if(mx[i->in]>mxs[x])
135 {
136 mxs[x]=mx[i->in];
137 }
138 }
139
140 deg[f[x]]--;
141 if(deg[f[x]]==0)
142 { q[qt++]=f[x]; }
143
144 mx[x]++;
145 mxs[x]++;
146
147 qh++;
148 }
149
150 qh=qt=0;
151 uv[0]=0;
152 FOREACH_EDGE(i,0)
153 q[qt++]=i->in;
154
155 while(qh!=qt)
156 {
157 int x=q[qh];
158
159 uv[x]=max( uv[f[x]],
160 x==mxp[f[x]] ? mxs[f[x]] : mx[f[x]]) +1;
161
162 FOREACH_EDGE(i,x)
163 if(i->in!=f[x]) q[qt++]=i->in;
164
165 qh++;
166 }
167
168 for(int i=0;i<n;i++)
169 dia=max(dia,mx[i]+mxs[i]);
170
171
172 for(int i=0;i<n;i++)
173 if(mx[i]+uv[i]==dia || mx[i]+mxs[i]==dia) printf("%d\n",i);
174
175 return 0;
176 }
自底向上DP的思路很巧妙.注意两个条件都要判断.
