题解 P8251 [NOI Online 2022 提高组] 丹钓战

先考虑一个弱化问题：多次询问将一个区间 \([l,r]\) 内的所有数加入单调栈之后（下文称这样是对一个区间进行操作。），栈内是否只剩下一个元素。

首先当 \(l=r\) 的时候一定只剩下一个数。

依题意所说，我们可以把 \([1,n]\) 内的所有元素加入栈内模拟一遍，预处理出元素 \(i\) 会被 \(p_i\) 弹出栈，这一步可以 \(\mathcal{O}(n)\) 做到。

我们可以发现，如果一个区间 \([l,r]\) 满足它最后只剩下一个元素，那么必然满足 \(\forall i\in[l,r-1],p_i\leq r\)。

于是我们只需要查询一下 \(\max_{i=l}^{r-1} p_i\) 即可解决这个弱化的问题，利用 st 表就可以做到 \(\mathcal{O}(n\log_2 n)-\mathcal{O}(1)\)。

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有一个结论，如果 \([l,r](l<r)\) 这个区间操作之后只剩下一个元素，那么 \([l+1,r]\) 这个区间操作之后也只剩下一个元素。

感性理解一下，这两个区间只差了 \((a_l,b_l)\) 这一个元素，而它没有弹出任何一个其他元素，形象的来说它成了区间的"累赘"，它只能等待别的元素把它弹掉。所以把它删掉也没有影响。

依次启发，我们可以对每个 \(i\) 预处理一个 \(least_i\)，表示 \([least_i,i]\) 这个区间操作后只剩下一个元素，但是 \([least_i-1,i]\) 这个区间操作后剩下的元素个数 \(>1\)（\(\forall i,least_i\geq 1\)），依照上面的结论，我们可以对于每个 \(i\) 二分出 \(least_i\)，这部分的复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log_2 n)\)。

考虑询问，我们发现询问就是问 \([l,l],[l,l+1],\dots,[r-1,r],[r,r]\) 这些区间有多少个操作之后只剩下一个元素，也就是询问区间 \([l,r]\) 中有多少个 \(least_i\leq l\)。

这就是一个经典问题了：将询问差分，变为询问 \([1,l-1]\) 中有多少个 \(least_i\leq l\)（显然 \(least_i\leq i\)，所以这部分答案是 \(l-1\)），询问 \([1,r]\) 中有多少个 \(least_i\leq l\)。对于后者，离线之后树状数组查询即可。

最终时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log_2 n)\)。