题解 P2398 GCD SUM

题目描述：

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求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n \gcd(i,j) \]

\(1 \leq n \leq 10^5\) 。

前置知识：

欧拉函数。

Solution

考虑按照套路把原式子变形，我们设 \(f(n) = \sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n \gcd(i,j)\) 。

\[f(n) = \sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n \gcd(i,j) \\ = \sum_{k=1}^n k \times \sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n [\gcd(i,j)=k] \\ = \sum_{k=1}^n k \times \sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n[\gcd(\frac{i}{k},\frac{j}{k})=1] \\ = \sum_{k=1}^n k \times\sum_{i=1}^\frac{n}{k}\sum_{j=1}^\frac{n}{k}[\gcd(i,j)=1] \]

设

\[g(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [\gcd(i,j)=1] \]

考虑如何求出 \(g(n)\) 。

首先，如果是 \(g(n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \gcd(i,j)\) 的话，那么答案就是

\[\sum_{i=1}^n \varphi(i) \]

但是 \(j\) 也是 \(1\to n\) ，所以我们答案要乘二。最后，因为 \((1,1)\) 被算了两次，所以要减去一次。

\[g(n)= =(2\times \sum_{i=2}^n \varphi(i))-1 \]

设 \(s(i)=\sum_{i=1}^n \varphi(i)\) ，那么 \(g(n)=2\times s(n)+1\) 。

\[f(n) = \sum_{k=1}^n k \times g(\frac{n}{k}) \\ = \sum_{k=1}^n k \times(2\times s(\frac{n}{k}) - 1) \]

由于本题只有一个测试数据，考虑先预处理出 \(\varphi(1) \to \varphi(n)\) ，求出 \(\varphi\) 的前缀和，然后枚举 \(n\) 的约数，累加答案。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n+\sqrt{n})\) 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
const int N = 1e5 + 5;
int prime[N] ,cnt; bool isprime[N];
int phi[N] ,s[N];
inline void Prime(int n) { //线性筛求 phi
    memset(isprime ,true ,sizeof(isprime));
    isprime[0] = isprime[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n; i++) {
        if (isprime[i]) {
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            isprime[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
    for (int i = 1;i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + phi[i];
}
int n ,ans;
signed main() {
    scanf("%lld" ,&n);
    Prime(n);
    for (int i = 1;i <= n; i++)
        ans += i * (2 * s[n / i] - 1);
    printf("%lld\n" ,ans);
    return 0;
}