裴蜀定理及其证明

对任意两个整数 \(a\)、\(b\)，设 \(d = \gcd (a,b)\)。那么关于未知数 \(x\) 和 \(y\) 的一元一次不定方程（裴蜀等式） \(ax + by = m\) 有整数解 \((x,y)\) 当且仅当 \(m\) 是 \(d\) 的整数倍。裴蜀等式有解释必然有无穷多个解。

证明：

如果 \(a\) 和 \(b\) 中有一个是 \(0\)，比如 \(a = 0\)，那么它们两个的最大公约数是 \(b\)。

此时裴蜀等式变为 \(by = m\)，它有整数解 \((x,y)\) 当且仅当 \(m\) 是 \(b\) 的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为 \(x\) 可以是任何整数。定理成立。

以下设 \(a\) 和 \(b\) 都不为 \(0\)。

设 \(A = \{ xa + yb ; (x;y) \in \mathbb{Z^2} \}\)，下面证明 \(A\) 中的最小正元素是 \(\gcd (a,b)\)。

首先，\(A \cap \mathbb{N}^*\) 不是空集（至少包含 \(\vert a \vert\) 和 \(\vert b \vert\)），因此由于自然数集合是良序的，\(A\) 中存在最小正元素 \(d_0 = x_0a + y_0b\)。考虑 \(A\) 中任意一个正元素 \(p(=x_1a + y_1b)\) 对 \(d_0\) 的带余除法：

设 \(p = qd_0+r\)，其中 \(q\) 为正整数，\(0 \le r <d_0\)。但是

\(r = p - qd_0 = x_1a +y_1b - q(x_0a + y_0b) = (x_1 - qx_0)a + (y_1 - qy_0)b \in A\).

因此 \(r = 0\)，\(d_0 \mid p\)。也就是说，\(A\) 中任意一个正元素 \(p\) 都是 \(d_0\) 的倍数。特别地：\(d_0 \mid a\)、\(d_0 \mid b\)。因此 \(d_0\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数。

另一方面，对 \(a\) 和 \(b\) 的任意正公约数 \(d\)，设 \(a = kd\)、\(b=ld\) 那么

\(d_0 = x_0a + y_0b = (x_0k + y_0l)d\).

因此 \(d \mid d_0\)。所以 \(d_0 = \gcd (a,b)\)。

在方程 \(ax + by = m\) 中，如果 \(m = m_0 d_0\)，那么方程显然有无穷多个解：

\(\left\{ \left( m_0 x_0 + \dfrac{kb}{d} , \dfrac{m}{d} y_0 - \dfrac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

相反的，如果 \(ax + by =m\) 有整数解，那么 \(\vert m \vert \in A\)，于是由前可知 \(d_0 \mid \vert m \vert\)（即 \(d_0 \mid m\)）。

\(m = 1\) 时，方程有解当且仅当 \(a\)、\(b\) 互质。方程有解时，解的集合是：

\(\left\{ \left( \dfrac{m}{d} x_0 + \dfrac{kb}{d} , \dfrac{m}{d} y_0 - \dfrac{ka}{d} \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

其中 \((x_0 , y_0)\) 是方程 \(ax + by = d\) 的一个解，可由辗转相除法得到。

所有解中，恰有两解 \((x,y)\) 满足 \(\vert x \vert \le \vert b/d \vert\) 及 \(\vert y \vert \le \vert a/d \vert\)，等号只会在 \(a\) 及 \(b\) 其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。