卢卡斯定理

对于非负整数 \(m\) 和 \(n\) 和素数 \(p\)，同余式：

\(\binom{m}{n} \equiv \prod \limits_{i = 0}^k \binom{m_i}{n_i} \pmod p\)

成立。其中：

\(m = m_k p^k + m_{k - 1} p^{k - 1} + \cdots + m_1 p + m_0\)，

并且

\(n = n_k p^k + n_{k - 1} p^{k - 1} + \cdots + n_1 p +n_0\)

是 \(m\) 和 \(n\) 的 \(p\) 进制展开。当 \(m < n\) 时，二项式系数 \(\binom{m}{n} = 0\)。

结论：二项式系数 \(\binom{m}{n}\) 可被素数 \(p\) 整除当且仅当在 \(p\) 进制表达下 \(n\) 的某一位的数值大于 \(m\) 对应位的数值。

证明：

对于素数 \(p\) 和 \(n\)，满足 \(1 \le n \le p-1\)，二项式系数

\(\binom{p}{n} = \dfrac{p \cdot (p - 1) \cdots (p - n + 1)}{n \cdot (n - 1) \cdots 1}\)

可被 \(p\) 整除。由此可得，在母函数中

\((1 + X)^p \equiv 1 + X^p \pmod p\).

应用数学归纳法可证，对于任意非负整数 \(i\)，有

\((1 + X)^{p^i} \equiv 1 + X^{p^i} \pmod p\).

对于任意非负整数 \(m\) 和素数 \(p\)，将 \(m\) 用 \(p\) 进制表示，即 \(m = \sum \limits^m_{i = 0} m_i p^i\)，其中 \(k\) 为非负整数、\(m_i\) 为整数且 \(0 \le m_i \le p - 1\)。注意到

\(\begin{aligned} \sum \limits^m_{n = 0} \binom{m}{n} X^n &=(1 + X)^m = \prod \limits^k_{i = 0} \left( (1 + X)^{p^i} \right)^{m_i} \\&\equiv \prod \limits^k_{i = 0} \left(1 + X^{p^i} \right)^{m_i} = \prod \limits^k_{i = 0} \left( \sum \limits^{m_i}_{n_i = 0} \binom{m_i}{n_i} X^{n_i p^i} \right) \\&=\prod \limits^k_{i = 0} \left( \sum \limits^{p - 1}_{n_i = 0} \binom{m_i}{n_i} X^{n_i p^i} \right) = \sum \limits^m_{n = 0} \left( \prod \limits^k_{i = 0} \binom{m_i}{n_i} \right) X^n \pmod p \end{aligned}\)

其中 \(n_i\) 是 \(n\) 的 \(p\) 进制表达的第 \(i\) 位。此即证明了本定理。