欧式距离

欧式距离（Euclidean Distance） 是在欧几里得空间中，两点之间的直线距离。它是度量空间中距离的一种，也是最常用的距离度量之一。在二维和三维空间中，欧氏距离就是两点之间的直线距离。

1. 欧式距离的定义

对于 n-维空间中的两个点 p=(p1​,p2​,…,pn​) 和 q=(q1​,q2​,…,qn​)，它们之间的欧氏距离 d(p,q) 定义为：

d(p,q)=(p1​−q1​)2+(p2​−q2​)2+⋯+(pn​−qn​)2​

2. 欧式距离的计算

在二维空间中，如果点 p=(x1​,y1​) 和点 q=(x2​,y2​)，则它们之间的欧氏距离为：

d(p,q)=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2​

在三维空间中，如果点 p=(x1​,y1​,z1​) 和点 q=(x2​,y2​,z2​)，则它们之间的欧氏距离为：

d(p,q)=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2+(z1​−z2​)2​

3. 欧式距离的性质

• 非负性：欧氏距离总是非负的，即 d(p,q)≥0。
• 对称性：两点之间的欧氏距离是对称的，即 d(p,q)=d(q,p)。
• 三角不等式：对于任意三点 p,q,r，有 d(p,r)≤d(p,q)+d(q,r)。

4. 欧式距离的应用

• 聚类分析：在 K-Means 等聚类算法中，欧氏距离常用于度量样本之间的相似性。
• 分类问题：在 K-Nearest Neighbors（KNN）等分类算法中，欧氏距离用于找到最近的邻居。
• 数据降维：在主成分分析（PCA）中，欧氏距离用于度量数据点之间的距离，以找到最佳的降维方向。

5. 欧式距离的优缺点

• 优点：直观、易于理解，计算简单。
• 缺点：对异常值敏感，且在高维空间中可能遇到“维度灾难”。

6. 代码示例（Python）

以下是一个使用 Python 计算欧氏距离的示例：

Python复制

import numpy as np

def euclidean_distance(p, q):
    return np.sqrt(np.sum((np.array(p) - np.array(q))**2))

# 示例
p = (1, 2, 3)
q = (4, 5, 6)

distance = euclidean_distance(p, q)
print("欧氏距离:", distance)

7. 总结

欧氏距离是度量空间中两点之间直线距离的一种，具有直观、易于计算的特点。它在机器学习、数据挖掘等领域有广泛的应用，但对异常值敏感，且在高维空间中可能遇到“维度灾难”。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的距离度量。

复制

分享