路径计数 6.20西安集训（最短哈密顿回路条数）

 

因为是哈密顿回路，所以每个点度数为2

假设我们已经考虑了i个点，其中b个B，w个W。

若存在x条由{1，2，...n}连向{i+1，...2n}，

那么{1...n}内部的连边数为（2*i-x）/2

而只有不同颜色的点会连边，故（2*i-x）/2<=2*min(w,b)

x>=2(w+b)-4min(w,b)=2|w-b|

则x>=2max(1,|w-b|).

为了求得最短路，我们肯定希望x尽可能的小。而通过归纳法可以证明，这个下界一定可以取到。（虽然我不会证）（这真的需要大胆假设）

于是，我们观察取到下界时的性质。设fi 为考虑i个点的方案数

若w=b，则无论接下来是什么，都只有一种连接方法

若w>b

　　若s_i+1=W，那么只能新开一条路径，因此f【i】=f【i-1】

　　若s_i+1=B

　　　　若w=b+1，这个B可以接在左右两侧，故f【i】=2*f【i-1】

　　　　若w>b+1,那么就会有w-b条形如WBWBWBW的单独的回路，那么把B放入其中一条，再从剩下的（w-b-1）的回路中选择一条，接到B上，故f【i+1】=（w-b)(w-b-w)*f[i].

若w<b，对称过来即可。

直接递推，O（n）的复杂度

但是，我们在统计的时候，把

W1-->B-->W2

W1<--B<--W2

W2-->B-->W1

W2<--B<--W1

算成了4种，而实际上这只能算一种。

因此最后的答案为f【2n】/4  （还需注意除法取模）

（判断时的逻辑关系不能搞混）

所以，边权唯一的用处就是告诉我们要让x尽可能小。。。。。。

细节见代码

// ubsan: undefined
// accoders
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 666;
const int mod = 998244353;
int w, b, T, n;
ll f[N];
char c;
signed main() {
    freopen("path.in", "r", stdin);
    freopen("path.out", "w", stdout);

    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        n <<= 1;
        w = 0;
        b = 0;
        f[0] = 1;
        /*for(int i=1;i<=1;i++){
                cin>>c;
                if(c=='W') w++;
                else b++;
        }*/
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> c;

            if (w == b) {
                f[i] = f[i - 1];
            } else if ((c == 'W') == (w > b))
                f[i] = f[i - 1];
            else if (w == b + 1 || b == w + 1) {
                f[i] = f[i - 1] * 2 % mod;
            } else if (w > b) {
                if (c == 'W')
                    f[i] = f[i - 1];
                else
                    f[i] = f[i - 1] * (w - b) % mod * (w - b - 1) % mod;
            } else {
                if (c == 'B')
                    f[i] = f[i - 1];
                else
                    f[i] = f[i - 1] * (b - w) % mod * (b - w - 1) % mod;
            }

            if (c == 'W')
                w++;
            else
                b++;
            // cout<<i<<" "<<w<<" "<<b<<" "<<f[i]<<endl;
        }
        // cout<<f[n]*2%mod<<endl;
        // cout<<f[n]<<"   ";
        printf("%lld\n", 1ll * f[n] * (mod / 2 + 1) % mod * (mod / 2 + 1) % mod);
    }
    return 0;
}