BZOJ 4802 欧拉函数

4802: 欧拉函数

Description

已知N,求phi(N)

Input

正整数N。N<=10^18

Output

输出phi(N)

Sample Input

8

Sample Output

4
  
  很明显,这样的题就是一道十分简单的入门题。只是N比较大,但输入和输出都还没有爆long long。如果输入高精度数,那
就很恶心了(虽然可以定义大整数类Big Int)。
  phi[n]=n∏(1-(1/p)),所以是Miller-Rabin和Pollard-Rho算法,用来分解一个大数的质因子。

  当n较小的时候,若要算出所有的phi(i),那么欧拉筛明显是最优的,线性空间线性时间。

  若只需算出固定n对应的前缀和∑phi(i),那很明显,不必算出所有的phi(i)。

  对于这种前缀和∑f(i)的计算,若使用杜教“筛”(这并不是素数筛),需要构造一个h=f*g(*指狄利克雷卷积),且前缀和∑g(i)与前缀和∑h(i)可以十分方便地算出。然后经过一系列较为方便的演算,做到大事化小递归求解。如果预先打表O(n^(2/3)),此时复杂度最优为O(n^(2/3))。

  我们可以发现,杜教筛对f的要求很苛刻。但是,洲阁筛使用了完全不同的思路。只要f(i)是多项式的,那么我们可以想到类似DP的方法。这样原始是O(n^(3/2))即O(n*sqrt(n))的,但通过各种优化可以压至O(n^(3/4)/log n)的级别。

  最后,说一下此题的方法。

  摘自:http://www.cnblogs.com/galaxies/p/bzoj4802.html

  • Miller-Rabin质数检验方法:
    根据费马小定理,如果p是素数,a<p,那么有a^(p-1) mod p = 1。

    直观想法我们直接取若干个a,如果都有一个不满足,那么p就是合数。

    遗憾的是,存在Carmichael数:你无论取多少个a,有一个不满足,算我输。

    比如:561 = 11*51就是一个Carmichael数。

    

    那么,额。。所以我们需要改进算法。

    首先有:如果p是素数,x是小于p的正整数,且x^2 mod p = 1,那么要么x=1,要么x=p-1

    (这个废话,x=p-1模意义下等于x=-1)

    然后我们可以展示下341满足2^340 mod 341 = 1,却不是素数(341=31*11)的原因:

      2^340 mod 341 = 1

      2^170 mod 341 = 1

      2^85 mod 341 = 32

      (32这个数很那啥啊怎么不等于340也不等于1啊。。这明显有内幕嘛32*32=1024,1024=341*3+1)

    那么就能说明这个数不是素数。

    如果是素数,一定是从p-1变到1,或是把所有2的次幂去除完,本来就等于1(这样平方完就一直是1了)

    所以要么把所有2的次幂去除完,本来就等于1,要么存在某一个次幂=p-1(这样就正常多了)

    这就是Miller-Rabin素数验证的二次探测。

    应该来说Miller-Rabin算法也是挺好写的

    其中mul(a,b,c)表示a*b%c(因为a*b会爆longlong,所以用快速加)

  • 好了下一个是Pollard-Rho算法:

    如果现在拆分的是n:Pollard-Rho(n)

    主要流程:Miller-Rabin判断是否质数,是返回,否就试图找出其中一个因子d,然后递归做Pollard-Rho(d)和Pollard-Rho(n/d)。

 

 

 
  
posted @ 2017-07-14 20:04 Doggu 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏