BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形

3505: [Cqoi2014]数三角形

Description

给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数,为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

HINT

数据范围
1<=m,n<=1000


 

  这肯定是很典型的排列组合水题。先n++,m++,再C(n*m,3),最后减去三点共线的特例。

  横的,竖的,很好算,C(n,3)*m+C(m,3)。但是斜的,需要想一想。

  在(a,b) (x,y)两点构成的线段上有gcd(a-x,b-y)-1个整点(a>x,b>y),这显然成立。斜的即有两点,△x与△y均大于0,在他们之间有gcd(△x,△y)-1个整点,而这种情况有2*(n-△x)*(m-△y)种。以O(n^2)的效率减去就是了。

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 3505
 3     User: Doggu
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:660 ms
 7     Memory:820 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <algorithm>
12 long long n, m, x, ans;
13 inline long long gcd(long long a,long long b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}
15 int main() {
16     scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
17     ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
18     for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);
19     printf("%lld\n",ans);
20     return 0;
21 }
22 
math(820kb 660ms)

  但是,居然发现,若把gcd记忆化,效率将大大提高。

 

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 3505
 3     User: Doggu
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:292 ms
 7     Memory:8792 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <algorithm>
12 long long n, m, x, ans, g[1010][1010];
13 inline long long gcd(long long a,long long b) {if(g[a][b]) return g[a][b];return g[a][b]=b==0?a:gcd(b,a%b);}
14 inline long long C(long long p) {return p*(p-1)*(p-2)/6;}
15 int main() {
16     scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;x=std::min(n,m);
17     ans=C(n*m)-C(n)*m-C(m)*n;
18     for( int i = 1; i < n; i++ ) for( int j = 1; j < m; j++ ) ans-=(gcd(i,j)-1)*2*(n-i)*(m-j);
19     printf("%lld\n",ans);
20     return 0;
21 }
22 
math++(8792kb 292ms)

 

posted @ 2017-07-05 11:47 Doggu 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏