BZOJ 1010 [HNOI2008]toy 玩具装箱

  2017.6.9:经过我的不懈努力,终于把此题A掉了,但上凸和下凸总是那么让人费解……


   P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

  第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

  输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

  以下摘自YYF的blog

  先推出普通dp的方程

f[i] = min{f[j] + (sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L)2}

  这方程明显是O(n2)级别的,再看看这卖萌的数据范围,不用质疑,铁定超时。还是来考虑一下优化(例如斜率优化)吧。由于这方程长得太丑了,于是决定简化一下

  设S(i) = sum[i] + i,C = L + 1

  于是方程变成了这样

f[i] = min{f[j] + (S(i) - S(j) - C)2}

  现在假设在状态i之前有两个可以转移到i的两个状态j, k(j < k),现在使j比k更优,那么它要满足

f[j] + (S(i) - S(j) - C)2 < f[k] + (S(i) - S(k) - C)2 

  看平方不爽,而且无法化简,果断完全平方公式拆掉

f[j] + [S(i) - (S(j) + C)]2 < f[k] + [S(i) - (S(k) + C)]2

f[j] + (S(j) + C)2 - 2S(i)[S(j) + C] < f[j] + (S(k) + C)2 - 2S(i)[S(k) + C]

  (其实可以一起拆掉,只不过中途有些地方可以直接"抵消")继续"拆"括号,移项

f[j] + S(j)2 + 2S(j)C - 2S(i)[S(j) - S(k)] < f[k] + S(k)2 + 2S(k)C

  继续,右边只留一个和i有关的单项式

(f[j] + S(j)2 + 2S(j)C) - (f[k] + S(k)2 + 2S(k)C) < 2S(i)[S(j) - S(k)]

  继续移项,右边只留和i有关的式子

  注意,S(i)是单调递增,所以S(j) - S(k) < 0,移项的时候不等号方向相反,于是我们愉快地得到了斜率方程(干什么?斜率优化去掉一个n)。

  对于状态i,用(f[i] + S(i)2 + 2S(i)C)作纵坐标,2S(i)作横坐标,删掉上凸点,维护一条斜率递增的折线即可。

  

 1 /************************************************************** 
 2     Problem: 1010 
 3     User: Doggu 
 4     Language: C++ 
 5     Result: Accepted 
 6     Time:100 ms 
 7     Memory:1992 kb 
 8 ****************************************************************/
 9   
10 #include <cstdio> 
11 #include <algorithm> 
12 template<class T>inline void readin(T &res) { 
13     static char ch; 
14     while((ch=getchar())<'0'||ch>'9'); 
15     res=ch-48;while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')res=(res<<1)+(res<<3)+ch-48; 
16 } 
17 const int N = 50010; 
18 long long n, C, S[N], f[N], head, tail, q[N]; 
19 #define Y(k) (f[(k)]+S[(k)]*S[(k)]+2*C*S[(k)]) 
20 #define X(k) (S[(k)]) 
21 int main() { 
22     readin(n);readin(C);C++; 
23     for( int i = 1; i <= n; i++ ) readin(S[i]),S[i]+=S[i-1]; 
24     for( int i = 1; i <= n; i++ ) S[i]+=i; 
25     head=tail=0;q[tail++]=0; 
26     for( int i = 1; i <= n; i++ ) { 
27         while(tail-head>1&&Y(q[head])-Y(q[head+1])>=2*S[i]*(X(q[head])-X(q[head+1]))) head++; 
28         f[i]=f[q[head]]+(S[i]-S[q[head]]-C)*(S[i]-S[q[head]]-C); 
29         while(tail-head>1&&(Y(q[tail-1])-Y(q[tail-2]))*(X(i)-X(q[tail-1]))>=(X(q[tail-1])-X(q[tail-2]))*(Y(i)-Y(q[tail-1]))) tail--;//若维护"="  
30         q[tail++]=i; 
31     } 
32     printf("%lld\n",f[n]); 
33     return 0; 
34 }
DP斜率优化

 

posted @ 2017-05-13 09:10 Doggu 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏